2015-江苏卷-09 填-几何体体积

本题导读

本题考查圆柱与圆锥的体积计算。核心在于把握“总体积不变”这一守恒量，通过建立等量关系求解新的底面半径。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别公式：圆锥体积 $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，圆柱体积 $V_{\text{柱}}=\pi r^{2}h$。
2. 计算原总体积：将已知参数代入公式，求出原有圆锥和圆柱的体积之和。
3. 设定新变量：设新的底面半径为 $r$。根据题目要求，新圆锥的高仍为 4，新圆柱的高仍为 8。
4. 建立等量关系：利用“新总体积 = 原总体积”列出方程并求解 $r$。

✅【答案】

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$\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算原总体积 $V_{\text{总}}$ 原圆锥体积 $V_1=\frac{1}{3}\times \pi \times 5^2\times 4=\frac{100\pi }{3}$； 原圆柱体积 $V_2=\pi \times 2^2\times 8=32\pi$。 原总体积 $V_{\text{总}}=V_1+V_2=\frac{100\pi }{3}+32\pi =\frac{196\pi }{3}$。

第二步：建立新总体积的表达式 设新的底面半径为 $r$。 新圆锥体积 $V_1^{\prime }=\frac{1}{3}\pi r^2\times 4=\frac{4\pi r^2}{3}$； 新圆柱体积 $V_2^{\prime }=\pi r^2\times 8=8\pi r^2$。 新总体积 $V_{\text{新}}=\frac{4\pi r^2}{3}+8\pi r^2=\frac{28\pi r^2}{3}$。

第三步：求解 $r$ 根据 $V_{\text{新}}=V_{\text{总}}$，有： $\frac{28\pi r^2}{3}=\frac{196\pi }{3}$ $28r^2=196$ $r^2=7$ 由于半径 $r>0$，解得 $r=\sqrt{7}$。

答案：$\sqrt{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆柱与圆锥体积公式的准确记忆与应用。
• 核心方法：等积变形法。在物体形状改变但材料总量不变的问题中，体积守恒是建立方程的关键。
• 避坑指南：计算过程中尽量保留 $\pi$，避免过早代入近似值导致结果偏差。注意圆锥体积公式中的系数 $\frac{1}{3}$ 不要漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若圆柱与圆锥底面积 $S$ 相同、高 $h$ 相同，则圆柱体积是圆锥体积的 3 倍。 *方法推广: 遇到类似“重新制作”的问题，应首先寻找题目中的不变量（如体积、质量、表面积等）。

• 相关知识点：球的体积与表面积、台体的体积公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2015-江苏卷-18 解-椭圆性质
• 2015-江苏卷-22 解-二面角
• 2018-江苏卷-22 解-异面直线角