2015-江苏卷-22 解-二面角

本题导读

本题是立体几何综合压轴题。第一问通过建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解二面角的余弦值；第二问将线线角的余弦值表示为变量的函数，利用辅助角公式或配方法求解最值。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，已知 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，且四边形 $ABCD$ 为直角梯形，$\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}$，$PA=AD=2$，$AB=BC=1$.

(1) 求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 所成二面角的余弦值；

(2) 点 $Q$ 是线段 $BP$ 上的动点，当直线 $CQ$ 与 $DP$ 所成角最小时，求线段 $BQ$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于 $PA,AB,AD$ 两两垂直，以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 第一问（二面角）：
   • 写出各点坐标。
   • 确定平面 $PAB$ 的一个法向量（易知为 $\overrightarrow{AD}$）。
   • 建立方程组求出平面 $PCD$ 的一个法向量 $\vec{n}$。
   • 利用公式 $|\cos \theta |=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}$ 计算。
3. 第二问（线线角最值）：
   • 设 $\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{BP}$ ($0\le \lambda \le 1$)，表示出点 $Q$ 的坐标及向量 $\overrightarrow{CQ}$。
   • 利用向量夹角公式列出 $\cos ⟨\overrightarrow{CQ},\overrightarrow{DP}⟩$ 关于 $\lambda$ 的表达式。
   • 直线所成角最小，对应其方向向量夹角的余弦绝对值最大。
   • 通过函数变形或导数求解 $\lambda$ 的取值，进而求出线段 $BQ$。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求二面角的余弦值


以 $A$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $A-xyz$。 则各点坐标为：$B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)$。 因为 $AD\perp$ 平面 $PAB$，所以平面 $PAB$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AD}=(0,2,0)$。 设平面 $PCD$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$。 已知 $\overrightarrow{PC}=(1,1,-2)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)$。 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{PC}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{PD}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2y-2z=0\end{array}$ 令 $z=1$，解得 $y=1,x=1$。 故平面 $PCD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(1,1,1)$。 设二面角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+2+0|}{2\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 所以，平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2) 求线段 $BQ$ 的长 因为 $\overrightarrow{BP}=(-1,0,2)$，设 $\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{BP}=(-\lambda ,0,2\lambda )$ ($0\le \lambda \le 1$)。 又 $\overrightarrow{CB}=(0,-1,0)$，则 $\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BQ}=(-\lambda ,-1,2\lambda )$。 已知 $\overrightarrow{DP}=(0,-2,2)$。 设直线 $CQ$ 与 $DP$ 所成角为 $\alpha$，则： $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{DP}|}{|\overrightarrow{CQ}||\overrightarrow{DP}|}=\frac{|0+2+4\lambda |}{\sqrt{{\lambda }^2+1+4{\lambda }^2}\cdot \sqrt{0+4+4}}=\frac{2|2\lambda +1|}{\sqrt{5{\lambda }^2+1}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{|2\lambda +1|}{\sqrt{10{\lambda }^2+2}}$ 设 $y={\cos }^2\alpha =\frac{4{\lambda }^2+4\lambda +1}{10{\lambda }^2+2}$。 直线所成角 $\alpha$ 最小，即 $\cos \alpha$ 取得最大值，即 $y$ 取得最大值。 令 $2\lambda +1=t\in [1,3]$，则 $\lambda =\frac{t-1}{2}$。代入 $y$： $y=\frac{t^2}{10(\frac{t-1}{2}{)}^2+2}=\frac{t^2}{\frac{5}{2}(t^2-2t+1)+2}=\frac{2t^2}{5t^2-10t+9}=\frac{2}{5-\frac{10}{t}+\frac{9}{t^2}}$ 当 $\frac{1}{t}=\frac{-(-10)}{2\times 9}=\frac{5}{9}$，即 $t=\frac{9}{5}$ 时，分母最小，此时 $y$ 最大。 此时 $2\lambda +1=\frac{9}{5}⟹\lambda =\frac{2}{5}$。 线段 $BP$ 的长度 $|BP|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{5}$。 则 $BQ=\lambda |BP|=\frac{2}{5}\times \sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

答案：（1）$\frac{\sqrt{3}}{3}$；（2）$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：利用空间向量解决二面角与线线角问题；含参函数的最值求解。
• 核心方法：法向量法处理面面角；参数方程法处理动点轨迹；换元法处理复杂分式函数最值。
• 避坑指南：二面角的余弦值恒为正（题目问的是“所成二面角”）；异面直线所成角的范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$，其余弦值越大，角越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 线线角的正弦值与二面角的正弦值之间存在投影关系。 *方法推广: 遇到分式函数 $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ 求最值，若分子分母次数相同且为二次，常用判别式法或倒数换元法。

• 相关知识点：点到平面的距离向量法、空间向量的投影公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.01空间向量及其运算

类题演练(Links)

• 2020-江苏卷-22 解-空间向量
• 2013年江苏卷-22
• 2018-江苏卷-22 解-异面直线角