2015-江苏卷-15 解-余弦定理

本题导读

本题是解答题的第一题，考查解三角形的基础知识。第一问利用余弦定理求第三边；第二问结合正弦定理、同角三角函数关系以及二倍角公式求解复合角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $AB=2$，$AC=3$，$A=60^{\circ }$.

(1) 求 $BC$ 的长；

(2) 求 $\sin 2C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求边）：已知两边及夹角 ($SAS$型)，直接套用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
2. 第二问（求角）：
   • 目标是 $\sin 2C$，展开式为 $2\sin C\cos C$。
   • 利用正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ 求出 $\sin C$。
   • 确定角 $C$ 的范围（大边对大角），由 $\sin C$ 求出 $\cos C$。
   • 代入二倍角公式计算。

✅【答案】

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(1) $\sqrt{7}$

(2) $\frac{4\sqrt{3}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $BC$ 的长 由余弦定理得： $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$ 将已知数据代入： $B{C}^2=2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \cos 60^{\circ }$ $B{C}^2=4+9-12\times \frac{1}{2}$ $B{C}^2=13-6=7$ 因为 $BC>0$，所以 $BC=\sqrt{7}$。

(2) 求 $\sin 2C$ 的值 第一步：求 $\sin C$ 由正弦定理 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$ 得： $\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{2\times \sin 60^{\circ }}{\sqrt{7}}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

第二步：求 $\cos C$ 在 $△ABC$ 中，由于 $AB=2$，$BC=\sqrt{7}$，易知 $AB<BC$。 根据大边对大角原则，可知 $C<A=60^{\circ }$，因此 $C$ 必为锐角。 $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{21}{49}}=\sqrt{\frac{28}{49}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

第三步：计算 $\sin 2C$ 根据二倍角公式： $\sin 2C=2\sin C\cos C$ $\sin 2C=2\times \frac{\sqrt{21}}{7}\times \frac{2\sqrt{7}}{7}=2\times \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}}{7}\times \frac{2\sqrt{7}}{7}$ $\sin 2C=\frac{4\times 7\times \sqrt{3}}{49}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$

答案：（1）$\sqrt{7}$；（2）$\frac{4\sqrt{3}}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理的应用；正弦定理求角；二倍角公式。
• 核心方法：边角转化法。在三角形中，已知信息较全时，利用定理实现边与角的转换是万能钥匙。
• 避坑指南：在由 $\sin C$ 求 $\cos C$ 时，必须判断角 $C$ 的范围。虽然本题中 $C$ 为锐角很直观，但在更复杂的题目中，若不通过边长关系判定，可能会出现漏解或多解。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若已知 $SAS$，则 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。 *方法推广: 求解 $\sin 2C$ 也可以先利用余弦定理求出 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，再求 $\sin C$，计算量视具体数值而定。

• 相关知识点：三角恒等变换、解三角形的实际应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

• 2019-江苏卷-15 解-余弦定理
• 2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形
• 2016-高考江苏卷-15