2015-江苏卷-21B 解-矩阵特征值

本题导读

本题是江苏卷选做题中的矩阵与变换题。考查矩阵特征值与特征向量的基本定义，通过矩阵与向量的乘法建立方程组求出未知参数，再利用特征多项式求解另一个特征值。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） （选修 4—2：矩阵与变换） 已知 $x,y\in \mathbb{R}$，向量 $\alpha =\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ y& 0\end{array}\right]$ 的属于特征值 $-2$ 的一个特征向量，求矩阵 $A$ 以及它的另一个特征值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用特征向量定义：根据定义 $A\alpha =\lambda \alpha$，将矩阵 $A$、向量 $\alpha$ 及特征值 $\lambda =-2$ 代入。
2. 建立方程组：执行矩阵与向量的乘法，得到一个关于 $x,y$ 的二元一次方程组并求解。
3. 确定矩阵 $A$：将求得的 $x,y$ 代回矩阵。
4. 求另一个特征值：
   • 方法一：求特征多项式 $|\lambda I-A|=0$ 的根。
   • 方法二：利用矩阵的迹（Trace）等于特征值之和的性质（${\lambda }_1+{\lambda }_2=\text{tr}(A)=x+0$）。

✅【答案】

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$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$，另一个特征值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求矩阵 $A$ 中的参数 $x,y$ 由题意 $A\alpha =-2\alpha$，即： $\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ y& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$ 计算矩阵乘法得： $\left[\begin{array}{c}x-1\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$ 由此建立方程组： $\{\begin{array}{l}x-1=-2\\ y=2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$ 所以，矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$。

第二步：求另一个特征值 矩阵 $A$ 的特征多项式为： $f(\lambda )=|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda +1& -1\\ -2& \lambda \end{array}\right|$ $=\lambda (\lambda +1)-(-2)(-1)={\lambda }^2+\lambda -2$ 令 $f(\lambda )=0$，即 $(\lambda +2)(\lambda -1)=0$。 解得特征值为 ${\lambda }_1=-2$（已知），${\lambda }_2=1$。 因此，矩阵 $A$ 的另一个特征值为 $1$。

答案：$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$，另一个特征值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：特征值与特征向量的定义式 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$；特征多项式的计算。
• 核心方法：定义法。对于二阶矩阵，直接代入定义式通常是求未知参数最快的方式。
• 技巧点拨：二阶矩阵中，两个特征值之和等于主对角线元素之和（迹），即 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=x+0=-1$。已知 ${\lambda }_1=-2$，则 ${\lambda }_2=-1-(-2)=1$。这种方法在填空题中可以快速求解结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，则 ${\lambda }^n$ 是 $A^n$ 的特征值，特征向量保持不变。 *方法推广: 求解更高阶矩阵的特征值时，通常利用行列式的性质进行降阶。

• 相关知识点：逆矩阵、矩阵的秩、哈密顿-凯莱定理。

🔗【关联脉络】

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• 待补

类题演练(Links)

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