2019-江苏卷-21 解-矩阵运算

本题导读

本题考查矩阵的乘法运算。核心在于行列相乘法、特征方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$。

(1)求 $A^2$；

(2)求矩阵 $A$ 的特征值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（矩阵乘法）：

• $A^2=A\cdot A$。
• 按照矩阵乘法规则：结果矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于第一个矩阵的第 $i$ 行与第二个矩阵的第 $j$ 列对应元素乘积之和。

2. 第二问（特征值）：

• 设 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，则满足特征方程 $\det (\lambda I-A)=0$（或 $\det (A-\lambda I)=0$）。
• 展开行列式得到关于 $\lambda$ 的一元二次方程，解方程即可。

✅【答案】

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(1)$A^2=\left[\begin{array}{cc}11& 5\\ 10& 6\end{array}\right]$。

(2)特征值为 $1$ 和 $4$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$， 所以 $A^2=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$ $A^2=\left[\begin{array}{cc}3\times 3+1\times 2& 3\times 1+1\times 2\\ 2\times 3+2\times 2& 2\times 1+2\times 2\end{array}\right]$ $A^2=\left[\begin{array}{cc}11& 5\\ 10& 6\end{array}\right]$

(2)解： 矩阵 $A$ 的特征多项式为： $f(\lambda )=\det (\lambda I-A)=\left|\begin{array}{cc}\lambda -3& -1\\ -2& \lambda -2\end{array}\right|$ 展开行列式得： $f(\lambda )=(\lambda -3)(\lambda -2)-(-1)(-2)$ $f(\lambda )={\lambda }^2-5\lambda +6-2$ $f(\lambda )={\lambda }^2-5\lambda +4$ 令 $f(\lambda )=0$，即 ${\lambda }^2-5\lambda +4=0$。 解得 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=4$。 所以矩阵 $A$ 的特征值为 $1$ 和 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 矩阵乘法的细节：计算 $A^2$ 时，最容易出现的错误是直接将每个元素平方。必须严格按照“左行乘右列”的原则计算。
2. 特征值的物理意义：特征值反映了矩阵变换在某些特定方向（特征向量方向）上的缩放倍数。
3. 公式检查：对于二阶矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，特征多项式必为 ${\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0$。其中 $a+d$ 是矩阵的迹（Trace），$ad-bc$ 是矩阵的行列式（Determinant）。本题中 $3+2=5,3\times 2-1\times 2=4$，公式吻合。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充：

• 凯莱-哈密顿定理：每个矩阵都满足其特征方程。对于本题，即 $A^2-5A+4I=O$（零矩阵）。
• 利用这个性质，可以通过 $A$ 和 $I$ 来线性表示更高次的矩阵 $A^n$，或者求逆矩阵 $A^{-1}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2016-高考江苏卷-21(B）