2015-浙江卷文-08 单-唯一确定

本题导读

$a^2+2a=(a+1{)}^2-1=t^2-1$ 随 $t$ 唯一确定，B 正确；$b$、$\frac{b}{2}$ 有周期多解、$a+1=\pm t$ 两解，A、C、D 均不唯一。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 设实数 $a$，$b$，$t$ 满足 $|a+1|=|\sin b|=t$，则下列说法中正确的是 ()

A. 若 $t$ 确定，则 $b^2$ 唯一确定

B. 若 $t$ 确定，则 $a^2+2a$ 唯一确定

C. 若 $t$ 确定，则 $\sin \frac{b}{2}$ 唯一确定

D. 若 $t$ 确定，则 $a^2+a$ 唯一确定

🔍【思路分析】

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$a^2+2a=(a+1{)}^2-1=t^2-1$ 随 $t$ 唯一确定，B 正确；$b$、$\frac{b}{2}$ 有周期多解、$a+1=\pm t$ 两解，A、C、D 均不唯一。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

（B）由 $|a+1|=t$ 得 $(a+1{)}^2=t^2$，即 $a^2+2a=t^2-1$。$t$ 确定时 $t^2-1$ 唯一确定，故 B 正确。

（A）由 $|\sin b|=t$（如取 $t=1$）得 $b=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），$b$ 不唯一，$b^2$ 不唯一，错误。

（C）$b$ 不唯一导致 $\frac{b}{2}$ 不唯一，从而 $\sin \frac{b}{2}$ 不唯一（$t=1$ 时交替取 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$），错误。

（D）$a+1=\pm t$，故 $a^2+a=(a+1{)}^2-(a+1)-1=t^2-1\mp t$，$t>0$ 时是两个不同的值，不唯一，错误。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值方程；正弦函数的周期性；函数值由自变量唯一确定

核心方法：“目标式凑成 $t$ 的表达式”判唯一，特值反例判不唯一

避坑指南：①判”唯一确定”的标准是：把目标式写成 $t$ 的（单值）函数；写不出就找反例。②$|a+1|=t$ 中 $a+1$ 有 $\pm t$ 两个取值，凡含 $a+1$ 一次项（如 $a^2+a$）的式子一般不唯一，只有偶函数式 $a^2+2a=(a+1{)}^2-1$ 例外。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以”唯一确定”考查函数概念的 Concept 题（doc 考点定位：函数概念），不要求解出 $a$、$b$，只要求辨识哪个表达式能被 $t$ 单值决定。

结论推广：一般地，$a^2+2a=(a+1{)}^2-1$ 是含 $a$ 的式子中唯一”平方齐净”者；含奇次项的 $a^2+a$、$a^3$ 等都会因 $a+1=\pm t$ 出现多值。

方法推广：唯一性问题：先配方/凑形把目标写成已知量的函数；失败则取特殊值（如 $t=1$）构造两个不同结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-08
• 2016-浙江卷理-04
• 2015-浙江卷理-14 填-线性规划