2015-浙江卷理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查在圆域限制条件下，含绝对值目标函数的最小值问题。解题关键在于通过区域分析去掉绝对值符号，将问题转化为多个子区域内的线性规划问题，并利用直线平移寻找最优解。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）若实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2\le 1$，则 $|2x+y-2|+|6-x-3y|$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析定义域：变量 $(x,y)$ 的约束区域是以原点为圆心，1为半径的圆盘内部（含边界）。

2. 去掉第一个绝对值：考察点 $(x,y)$ 在圆内时，$6-x-3y$ 的正负。由于 $x\in [-1,1],y\in [-1,1]$，可知 $x+3y$ 的最大值为 $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}<6$，故 $6-x-3y$ 恒大于 0。目标函数简化为 $|2x+y-2|+6-x-3y$。

3. 分类讨论第二个绝对值：由直线 $2x+y-2=0$ 将圆域分成两部分。

   • 情况一：$2x+y-2\ge 0$ 时，目标函数为 $f_1(x,y)=x-2y+4$。

   • 情况二：$2x+y-2<0$ 时，目标函数为 $f_2(x,y)=8-3x-4y$。

4. 线性规划寻优：在各自区域内平移等值线，寻找使截距最小的点。通常最优解在直线与圆的切点或直线交点处取得。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简目标函数

由于 $x^2+y^2\le 1$，根据柯西不等式或三角换元，$x+3y\le \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}<6$。

所以 $6-x-3y>0$，即 $|6-x-3y|=6-x-3y$。

目标函数 $z=|2x+y-2|-x-3y+6$。

第二步：分类讨论直线 $2x+y-2=0$

如图，直线 $2x+y-2=0$ 位于圆 $x^2+y^2=1$ 的右上方且与圆相切。

计算圆心到直线的距离 $d=\frac{|-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}<1$。

实际上，直线 $2x+y-2=0$ 与圆相交于点 $A(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ 及其它点（此处需校正：圆心到直线距离为 $2/\sqrt{5}\approx 0.89$，半径为1，确实相交）。

但在圆域内，对于任意点 $(x,y)$，$2x+y\le \sqrt{2^2+1^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{5}$。

由于 $\sqrt{5}>2$，圆域被直线 $2x+y-2=0$ 分为两部分。

第三步：计算各区域最小值

1. 当 $2x+y-2\ge 0$ 时（即直线右上方的小弓形区域）：

   $z=(2x+y-2)-x-3y+6=x-2y+4$。

   平移直线 $x-2y=z-4$，当直线经过切点时 $z$ 最小。

   由线性规划可知，在点 $A(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ 附近取得。代入 $A$ 得 $z=\frac{3}{5}-\frac{8}{5}+4=3$。

2. 当 $2x+y-2\le 0$ 时（圆的大部分区域）：

   $z=-(2x+y-2)-x-3y+6=8-3x-4y$。

   欲使 $z$ 最小，需 $3x+4y$ 最大。

   当直线 $3x+4y=k$ 与圆在第一象限相切时取得最大值。

   切点坐标满足 $x:y=3:4$ 且 $x^2+y^2=1$，即 $(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$。

   此时 $k_{max}=3(\frac{3}{5})+4(\frac{4}{5})=5$。

   代入得 $z_{min}=8-5=3$。

结论：综合两种情况，最小值为 3。

故答案为：3。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值的几何意义与线性规划的综合。

• 核心方法：数形结合。通过图形判断绝对值符号的正负，简化函数解析式。

• 避坑指南：计算 $6-x-3y$ 的范围时，容易忽略圆域的限制，应利用圆的参数方程或柯西不等式辅助判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 目标函数形如 $|f|+|g|$ 时，若 $f,g$ 的零点线与约束区域不相交，可直接去绝对值；若相交，必须分区域讨论。

*方法推广: 求解 $\max (ax+by)$ 且 $x^2+y^2\le r^2$ 时，最大值为 $r\sqrt{a^2+b^2}$。

• 相关知识点：点到直线的距离公式、切线方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

• 2014-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2014-浙江卷理-06 单-三次函数的解析式
• 2013年浙江卷理-13