2015-浙江卷文-09 填-对数运算

本题导读

${\log }_2\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$；$2^{{\log }_{2}3+{\log }_{4}3}=2^{{\log }_{2}3}\cdot 2^{{\log }_{4}3}=3\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 计算：${\log }_2\frac{\sqrt{2}}{2}=$ $\underline{}$，$2^{{\log }_{2}3+{\log }_{4}3}=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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${\log }_2\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$；$2^{{\log }_{2}3+{\log }_{4}3}=2^{{\log }_{2}3}\cdot 2^{{\log }_{4}3}=3\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$；$3\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_2\frac{\sqrt{2}}{2}={\log }_2{2}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$。

$2^{{\log }_{2}3+{\log }_{4}3}=2^{{\log }_{2}3}\cdot 2^{{\log }_{4}3}=3\cdot 2^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}=3\cdot 2^{{\log }_2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的运算；恒等式 $a^{{\log }_{a}N}=N$

核心方法：“换底统一 + 指数拆积”

避坑指南：①${\log }_{4}3=\frac{1}{2}{\log }_{2}3$ 换底后指数上出现 $\frac{1}{2}$，对应 $2^{{\log }_2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，别漏掉平方根；②$2^{{\log }_{2}3}=3$ 是”底指数互化”恒等式，指数相加才拆成乘积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数运算开卷填空（doc 考点定位：对数运算），第二空用 $a^{{\log }_{a}N}=N$ 与换底公式组合，比第一空多一折。

结论推广：一般地，$a^{{\log }_{a}M+{\log }_{a}N}=MN$；$a^{{\log }_{a^k}N}=N^{1/k}$。本题 $2^{{\log }_{4}3}=3^{1/2}$ 即后者的特例。

方法推广：混合底数指数式：先把指数上的对数统一底数，再拆积、用 $a^{{\log }_{a}N}=N$ 逐项落地。

🔗【关联脉络】

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• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

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• 2015-浙江卷理-12 填-对数运算
• 2014-浙江卷理-07 单-幂函数图象