2014-浙江卷理-07 单-幂函数图象

本题导读

本题考查幂函数与对数函数的图像识别。核心在于根据图像的增减性、凹凸性以及经过的定点，判断底数（或指数）$a$ 的取值范围，并检查在同一个选项中 $a$ 的取值是否满足一致性。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 在同一直角坐标系中，函数 $f(x)=x^a(x\ge 0)$，$g(x)={\log }_{a}x$ 的图像可能是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别函数类型：$f(x)=x^a$ 是幂函数，$g(x)={\log }_{a}x$ 是对数函数。注意两者的底数/指数均为参数 $a$。
2. 分类讨论 $a$ 的范围：
   • 当 $a>1$ 时：幂函数 $f(x)$ 递增且图象下凸（过原点及 $(1,1)$）；对数函数 $g(x)$ 递增（过 $(1,0)$）。
   • 当 $0<a<1$ 时：幂函数 $f(x)$ 递增但图象上凸（过原点及 $(1,1)$）；对数函数 $g(x)$ 递减（过 $(1,0)$）。
3. 逐项排除：检查各选项中两个函数图像所反映出的 $a$ 值范围是否一致。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析选项 A 图中幂函数图像未经过必经定点 $(1,1)$，且其中一条曲线表现为减函数但经过了 $(0,1)$，这不符合幂函数 $f(x)=x^a$ 或对数函数 $g(x)={\log }_{a}x$ 的基本特征。故排除 A。

第二步：分析选项 B

• 对于 $f(x)=x^a$：图像递增且下凸，说明 $a>1$。
• 对于 $g(x)={\log }_{a}x$：图像递减，说明 $0<a<1$。 同一坐标系中 $a$ 的取值范围矛盾。故排除 B。

第三步：分析选项 C

• 对于 $f(x)=x^a$：图像递增且上凸，说明 $0<a<1$。
• 对于 $g(x)={\log }_{a}x$：图像递增，说明 $a>1$。 同一坐标系中 $a$ 的取值范围矛盾。故排除 C。

第四步：分析选项 D

• 对于 $f(x)=x^a$：图像递增且上凸，说明 $0<a<1$。
• 对于 $g(x)={\log }_{a}x$：图像递减，说明 $0<a<1$。 二者对参数 $a$ 的要求一致，均符合 $0<a<1$ 时的函数特征。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数 $a$ 对幂函数和对数函数图像形状的决定性作用。 2. 关键规律： - 幂函数 $y=x^a$ 在第一象限：$a>1$ 时下凸增；$0<a<1$ 时上凸增；$a<0$ 时减。 - 对数函数 $y={\log }_{a}x$：$a>1$ 时增；$0<a<1$ 时减。

2. 核心方法：分类讨论 $a$ 的范围，结合单调性、凹凸性与定点逐项排除

3. 避坑指南：注意对数函数的底数 $a$ 必须满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的反函数关系、函数图像的对称变换。

2. 结论推广: 若题目加入指数函数 $y=a^x$，其单调性应与对数函数 $y={\log }_{a}x$ 保持一致。

3. 方法推广: 解决此类“图像可能性”题目，“定点”法（如检查是否过 $(1,1)$ 或 $(1,0)$）通常是快速排除错误选项的捷径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象