2015-浙江卷文-11 填-三角变换

本题导读

$f(x)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\pi$，最小值 $\frac{3-\sqrt{2}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 函数 $f(x)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x+1$ 的最小正周期是 $\underline{}$，最小值是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

$f(x)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\pi$，最小值 $\frac{3-\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\pi$；$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{2}+1=\frac{3}{2}+\frac{\sin 2x-\cos 2x}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$。

故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；最小值为 $\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂公式；辅助角公式；正弦型函数的周期与最值

核心方法：“平方降幂、乘积辅助角”，化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 标准形

避坑指南：①${\sin }^{2}x$ 降幂时系数是 $\frac{1-\cos 2x}{2}$，常数项 $1$ 与 $\frac{1}{2}$ 合并后是 $\frac{3}{2}$；②振幅是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$（来自 $\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})$ 再除以 2），最值别写成 $\frac{3\pm \sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换求周期与最值是填空的常青题（doc 考点定位：三角函数的图象与性质；三角恒等变换），全卷换元训练的典型载体。

结论推广：一般地，$f(x)=\alpha {\sin }^{2}x+\beta \sin x\cos x+\gamma =\frac{\alpha +2\gamma }{2}+\frac{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}{2}\sin (2x+\phi )$，周期恒为 $\pi$。

方法推广：三角函数式求周期最值：目标是化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$；平方用降幂、乘积用辅助角，一次到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2015-浙江卷理-11 填-三角恒等变换
• 2010-浙江卷理-11
• 2016-浙江卷理-16