2015-浙江卷理-04 单-量词命题

本题导读

本题考查全称命题的否定。核心在于掌握全称量词与存在量词的转化规则，以及逻辑联结词“且”与“或”的对偶关系（德·摩根定律在逻辑中的应用）。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）命题“$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$f(n)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $f(n)\le n$”的否定形式是 ()

A. $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$f(n)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $f(n)>n$

B. $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$f(n)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 $f(n)>n$

C. $\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$f(n_0)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $f(n_0)>n_0$

D. $\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$f(n_0)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 $f(n_0)>n_0$

🔍【思路分析】

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1. 量词转化：全称命题的否定是特称命题。即将全称量词“$\forall$”（任意）改为存在量词“$\exists$”（存在），并将变量 $n$ 改为 $n_0$ 以示区别。
2. 结论否定：对命题的结论部分进行否定。
   • “$f(n)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$” 的否定是 “$f(n_0)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$”。
   • “$f(n)\le n$” 的否定是 “$f(n_0)>n_0$”。
3. 联结词转化：逻辑联结词“且”（$\wedge$）的否定是“或”（$\vee$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据全称命题否定的规则： 命题 $p:\forall x\in M,P(x)$ 的否定为 $\neg p:\exists x_0\in M,\neg P(x_0)$。

本题原命题为：$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$P(n)$。 其中结论 $P(n)$ 为：“$f(n)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $f(n)\le n$”。

进行否定：

1. 量词部分：$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }⟶\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。
2. 结论部分应用德·摩根定律： $\neg (A\text{ 且 }B)⟺(\neg A)\text{ 或 }(\neg B)$。 所以，“$f(n)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $f(n)\le n$” 的否定为： “$f(n_0)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 $f(n_0)>n_0$”。

组合得到否定形式为： $\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$f(n_0)\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 $f(n_0)>n_0$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：全称命题与特称命题的对立关系。
• 核心方法：三步走原则：换量词、改变量名（可选，但规范）、反转结论。
• 避坑指南：最容易出错的地方是漏掉联结词的转换。切记“且”变“或”，“或”变“且”。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 常见词语的否定形式对照表：

原词	否定
等于 (=)	不等于 ($\ne$)
大于 (>)	小于等于 ($\le$)
都是	不都是（至少有一个不是）
至少有一个	一个也没有
且	或
*方法推广: 在处理复杂复合命题否定时，先理清逻辑结构再逐层否定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2013年浙江卷理-4
• 2012年浙江卷理-4
• 2024-新高考II卷-02 单-命题及其否定