2015-浙江卷理-05 单-抛物线性质

本题导读

本题通过抛物线背景考查三角形面积比的转化。核心在于利用抛物线定义（点到焦点距离等于到准线距离）将几何长度进行等价转换，并结合相似三角形的比例关系进行求解。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）如图，设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，不经过焦点的直线上有三个不同的点 $A,B,C$，其中点 $A,B$ 在抛物线上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，则 $△BCF$ 与 $△ACF$ 的面积之比是 ()

A. $\frac{|BF|-1}{|AF|-1}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{|BF{|}^2-1}{|AF{|}^2-1}$

C. $\frac{|BF|+1}{|AF|+1}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{|BF{|}^2+1}{|AF{|}^2+1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等高转化面积比：$△BCF$ 与 $△ACF$ 共享底边所在的直线（即直线 $ABC$），因此它们的面积之比等于对应的高之比。
2. 利用相似三角形：由于点 $C$ 在 $y$ 轴上，过 $A,B$ 分别向 $y$ 轴作垂线，利用相似三角形性质，面积比可以转化为点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $A$ 到 $y$ 轴的距离之比。
3. 抛物线定义转换：抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。定义指出 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$。
4. 建立代数式：本题 $p=2$，准线为 $x=-1$。点到 $y$ 轴的距离为 $x$，根据定义 $x=|AF|-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析面积之比 $△BCF$ 和 $△ACF$ 有公共底边 $CF$。 设点 $F$ 到直线 $ABC$ 的距离为 $h$，则这种视角不方便。 换一种视角：以 $AC$ 和 $BC$ 为底，两三角形共顶点 $F$。 由于 $A,B,C$ 三点共线，$△BCF$ 与 $△ACF$ 的高相同（即点 $F$ 到直线 $ABC$ 的距离）。 因此：$\frac{S_{△BCF}}{S_{△ACF}}=\frac{|BC|}{|AC|}$。

第二步：利用平行线分线段成比例（或相似） 过点 $A,B$ 分别向 $y$ 轴作垂线，垂足分别为 $A^{\prime },B^{\prime }$。 由于 $C$ 在 $y$ 轴上，由 $△B{B}^{\prime }C\sim △A{A}^{\prime }C$ 可得： $\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|B{B}^{\prime }|}{|A{A}^{\prime }|}=\frac{x_B}{x_A}$ （此处 $x_A,x_B$ 为点 $A,B$ 的横坐标，即点到 $y$ 轴的距离）。

第三步：代入抛物线定义 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。 根据抛物线定义： 点 $A$ 到焦点的距离 $|AF|=x_A-(-1)=x_A+1⟹x_A=|AF|-1$。 点 $B$ 到焦点的距离 $|BF|=x_B-(-1)=x_B+1⟹x_B=|BF|-1$。

第四步：得出结论 $\frac{S_{△BCF}}{S_{△ACF}}=\frac{x_B}{x_A}=\frac{|BF|-1}{|AF|-1}$

故选：A。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线的第二定义（点到焦点的距离等于到准线的距离）。
• 核心方法：几何等价转化。将面积比转化为线段比，再利用相似关系转化为横坐标之比，最后套用定义。
• 避坑指南：注意本题中点 $C$ 在 $y$ 轴上，而不是在准线上。如果 $C$ 在准线上，结论会有所不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F$，直线交抛物线于 $A,B$，交准线于 $C$，则 $\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|BF|}{|AF|}$。 *方法推广: 涉及抛物线焦半径（点到焦点距离）的问题，首选抛物线定义进行坐标转换。

• 相关知识点：定比分点坐标公式、三角形面积公式的各种变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理
• 18.09 阿基米德三角形

类题演练(Links)

• 2013年浙江卷理-15
• 2012年浙江卷理-15
• 2022-高考浙江卷-11