2015-浙江卷理-11 填-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的化简与最值求解。通过诱导公式、两角和与差的余弦公式以及辅助角公式，将复杂的三角表达式统一为一个正弦型函数，进而确定其最大值。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）设函数 $f(x)={\sin }^{2}x-\sin x\cos x+\frac{1}{2}$，则 $f(x)$ 的最小正周期是 $\underline{}$，最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 降幂扩角：利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 和倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 统一角度为 $2x$。

2. 辅助角公式：利用 $a\sin \omega x+b\cos \omega x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$ 将函数化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的形式。

3. 确定周期：由公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 计算最小正周期。

4. 求最小值：利用正弦函数的有界性（$-1\le \sin \theta \le 1$）得出函数的最小值。

✅【答案】

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$\pi$ ； $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简解析式 $f(x)={\sin }^{2}x-\sin x\cos x+\frac{1}{2}$ 使用降幂公式： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ $f(x)=1-\frac{1}{2}(\sin 2x+\cos 2x)$

第二步：应用辅助角公式 $f(x)=1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$ $f(x)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$

第三步：计算周期与最值

1. 周期：$\omega =2$，所以 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
2. 最小值： 当 $\sin (2x+\frac{\pi }{4})=1$ 时，函数取得最小值： $f(x{)}_{min}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\times 1=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故答案为：$\pi$ ； $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：辅助角公式（提取 $\sqrt{a^2+b^2}$）和降幂公式。
• 核心方法：恒等变形。三角函数题目第一步通常都是“统一名、统一角”，本题通过倍角关系实现了角度的统一。
• 避坑指南：注意 $f(x)=1-\dots$ 结构中，当正弦项取最大值 $1$ 时，整体才是最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 函数 $f(x)=a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$ 类型，均可转化为 $A\sin (2x+\phi )+B$ 的形式。 *方法推广: 遇到 $\sin x\pm \cos x$ 的组合，直接联想 $\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\pi }{4})$。

• 相关知识点：正弦函数的单调区间、对称中心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2010-浙江卷理-11
• 2016-浙江卷文-11
• 2016-浙江卷理-10