2015-浙江卷文-05 单-函数图象

本题导读

$f(-x)=\frac{x+1}{x}\cos x\ne \pm f(x)$，非奇非偶，排除对称图象；$x\in (0,1)$ 时 $f(x)<0$、$x\in (-1,0)$ 时 $f(x)>0$，且 $f(\pm \pi )<0$，选 D。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{x-1}{x}\cos x$（$-\pi \le x\le \pi$ 且 $x\ne 0$）的图象可能为

🔍【思路分析】

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$f(-x)=\frac{x+1}{x}\cos x\ne \pm f(x)$，非奇非偶，排除对称图象；$x\in (0,1)$ 时 $f(x)<0$、$x\in (-1,0)$ 时 $f(x)>0$，且 $f(\pm \pi )<0$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

先将函数改写为 $f(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\cos x$。

奇偶性：$f(-x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\cos x$，既不等于 $f(x)$ 也不等于 $-f(x)$，故 $f(x)$ 是非奇非偶函数，图象不关于原点、$y$ 轴对称，排除 A、B。

符号定位：当 $x\in (0,1)$ 时，$1-\frac{1}{x}<0$ 且 $\cos x>0$，故 $f(x)<0$；当 $x\in (-1,0)$ 时，$1-\frac{1}{x}>0$ 且 $\cos x>0$，故 $f(x)>0$。

又 $f(\pi )=\left(1-\frac{1}{\pi }\right)(-1)<0$，$f(-\pi )=-\left(1+\frac{1}{\pi }\right)<0$，两个端点处函数值都在 $x$ 轴下方。

对照剩余选项的图象特征，只有 D 符合。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性；函数图象的辨识

核心方法：“非奇非偶先排对称图象，再按区间符号定形”

避坑指南：①$\frac{x-1}{x}$ 是非奇非偶因子，$\cos x$ 的偶性不能”传染”整个函数，套用”奇乘偶为奇”会误判；②判别时先看对称性，再看 $x\to 0$ 两侧与端点处的符号，多个特征共同锁定选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“分式因子乘余弦”的图象识别题，把代数特征（奇偶、符号、趋势）翻译成图象特征是通用套路（doc 考点定位：函数的基本性质、函数的图象）。

结论推广：一般地，$g(x)\cos x$ 型函数：$g$ 为奇函数则整体为奇；$g$ 为偶函数则整体为偶；$g$ 非奇非偶则整体非奇非偶，须逐区间定号。

方法推广：图象选择题的四步：定义域 → 奇偶对称 → 特殊点/区间符号 → 极限趋势。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

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• 2008-浙江卷理-05
• 2015-浙江卷理-11 填-三角恒等变换