2015-浙江卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理、正弦定理以及三角形面积公式的综合应用。第一问通过余弦定理建立边与角的关系，求出指定角的正切值；第二问结合面积已知条件，求解三角形的边长。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $A=\frac{\pi }{4}$，$b^2-a^2=\frac{1}{2}{c}^2$.

(1) 求 $\tan C$ 的值；

(2) 若 $△ABC$ 的面积为 3，求 $b$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 已知 $A$ 角和 $a,b,c$ 的关系式，首选余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
   • 将 $b^2-a^2=\frac{1}{2}{c}^2$ 变形为 $a^2=b^2-\frac{1}{2}{c}^2$，代入余弦定理消去 $a$，建立 $b$ 与 $c$ 的比例关系。
   • 利用所得边长比例，再次使用余弦定理求出 $\cos C$，进而求出 $\sin C$ 和 $\tan C$。
   2. 第二问思路：
   • 利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=3$。
   • 结合第一问中 $b$ 与 $c$ 的比例关系，求出 $b$ 和 $c$ 的具体值。

✅【答案】

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(1) $\tan C=2$

(2) $b=3$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\tan C$ 的值 由余弦定理得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \frac{\pi }{4}$ 即 $a^2=b^2+c^2-\sqrt{2}bc$ ① 已知 $b^2-a^2=\frac{1}{2}{c}^2⟹a^2=b^2-\frac{1}{2}{c}^2$ ② 由 ①② 可得：$b^2-\frac{1}{2}{c}^2=b^2+c^2-\sqrt{2}bc$ 整理得：$\sqrt{2}bc=\frac{3}{2}{c}^2$ 由于 $c>0$，故 $b=\frac{3\sqrt{2}}{4}c$。 代入 ② 得：$a^2=(\frac{3\sqrt{2}}{4}c{)}^2-\frac{1}{2}{c}^2=\frac{18}{16}{c}^2-\frac{8}{16}{c}^2=\frac{5}{8}{c}^2$，即 $a=\frac{\sqrt{10}}{4}c$。 在 $△ABC$ 中，由余弦定理： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\frac{5}{8}{c}^2+\frac{9}{8}{c}^2-c^2}{2\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}c\cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}c}=\frac{\frac{3}{4}{c}^2}{\frac{3\sqrt{20}}{8}{c}^2}=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{6\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 因为 $C\in (0,\pi )$，$\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 所以 $\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{2\sqrt{5}/5}{\sqrt{5}/5}=2$。

（2）求 $b$ 的值 已知 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=3$ $\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3⟹bc=6\sqrt{2}$ 将 $b=\frac{3\sqrt{2}}{4}c$ 代入上式： $\frac{3\sqrt{2}}{4}{c}^2=6\sqrt{2}$ $c^2=8⟹c=2\sqrt{2}$ 所以 $b=\frac{3\sqrt{2}}{4}\times 2\sqrt{2}=3$。

故答案为：（1）$\tan C=2$；（2）$b=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理的灵活变形（消元法）；三角形面积公式。
• 核心方法：基本量法。在解三角形中，若给出多个边角关系，尝试将所有边用同一个变量（如本题中的 $c$）表示，往往能迅速化简。
• 避坑指南：求 $\tan C$ 时需确保 $\cos C\ne 0$；同时注意三角形内角范围对三角函数值符号的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $b^2+c^2-a^2=kbc$，则由余弦定理可知 $\cos A=\frac{k}{2}$。 *方法推广: 涉及 $a,b,c$ 平方关系且已知一角的问题，优先考虑余弦定理；涉及面积及两边一角问题，优先考虑面积公式。

• 相关知识点：正弦定理、射影定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

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