2015-湖北卷文-19 解-数列求和

本题导读

由 $a_{1}d=2$ 与 $\frac{10}{2}(2a_1+9d)=100$ 得 $9d^2-20d+4=0$，$d=2$ 或 $\frac{2}{9}$，分写两组通项；$d>1$ 时 $c_n=\frac{2n-1}{2^{n-1}}$，$T_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$.已知 $b_1=a_1$，$b_2=2$，$q=d$，$S_{10}=100$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 当 $d>1$ 时，记 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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由 $a_{1}d=2$ 与 $\frac{10}{2}(2a_1+9d)=100$ 得 $9d^2-20d+4=0$，$d=2$ 或 $\frac{2}{9}$，分写两组通项；$d>1$ 时 $c_n=\frac{2n-1}{2^{n-1}}$，$T_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$。

✅【答案】

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(1) $d=2$ 时 $a_n=2n-1$，$b_n=2^{n-1}$；$d=\frac{2}{9}$ 时 $a_n=\frac{2n+79}{9}$，$b_n=9{\left(\frac{2}{9}\right)}^{n-1}$

(2) $T_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $b_2=b_{1}q$、$b_1=a_1$、$q=d$，得 $a_{1}d=2$，故 $d\ne 0$ 且 $a_1=\frac{2}{d}$。

又 $100=S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+9d)$，即 $2a_1+9d=20$。代入 $a_1=\frac{2}{d}$：$\frac{4}{d}+9d=20\Rightarrow 9d^2-20d+4=0\Rightarrow d=2$ 或 $d=\frac{2}{9}$。

当 $d=2$ 时，$a_1=1$，故 $a_n=2n-1$，$b_n=2^{n-1}$。

当 $d=\frac{2}{9}$ 时，$a_1=9$，故 $a_n=9+\frac{2(n-1)}{9}=\frac{2n+79}{9}$，$b_n=9{\left(\frac{2}{9}\right)}^{n-1}$。

(2) $d>1$ 时只能取 $d=2$，于是 $c_n=\frac{2n-1}{2^{n-1}}$。

设 $T_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$。$n=1$ 时 $T_1=6-5=1=c_1$ 成立；且

$T_{n+1}-T_n=\left(6-\frac{2n+5}{2^n}\right)-\left(6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}\right)=\frac{2(2n+3)-(2n+5)}{2^n}=\frac{2n+1}{2^n}=c_{n+1}$。

故由数学归纳法，$T_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$（与错位相减法结果一致）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差、等比数列的通项；差比数列前 $n$ 项和

核心方法：基本量方程组 + 错位相减法（或先猜后证）

避坑指南：①基本量方程有两个解，$d=\frac{2}{9}$ 的一组通项别漏写（第（1）问未限制 $d$ 的范围）；②错位相减合并同类项易错，可用 $n=1,2$ 代入验算 $T_n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比嫁接 + 错位相减是数列大题的传统考法，新浪点评称”难度和计算量都不大，注意计算准确即可”。

结论推广：一般地，$c_n=(an+b)q^n$ 的和可写成 $T_n=\alpha -\frac{\beta n+\gamma }{q^{n-1}}$ 型（$q=\frac{1}{2}$ 时本题 $\alpha =6$）；待定系数后用 $T_{n+1}-T_n=c_{n+1}$ 秒验。

方法推广：见”等差 $\times$ 等比”结构想错位相减；也可猜 $T_n=A-\frac{Bn+C}{2^{n-1}}$ 型再用相邻差验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2011-湖北卷理-19
• 2009-湖北卷理-19
• 2015-湖北卷理-18 解-等差数列