2015-湖北卷理-18 解-等差数列

本题导读

本题考查等差、等比数列通项公式的求解以及“等差型/等比型”复合数列的前 $n$ 项和。第一问通过建立方程组求基本量；第二问考查数列求和中的核心方法——错位相减法。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$.已知 $b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_{10}=100$.

(1) 求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 当 $d>1$ 时，记 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（基本量计算）：
   • 根据 $b_2=b_{1}q$ 和已知条件 $b_1=a_1,q=d$，得 $a_{1}d=2$。
   • 利用等差数列求和公式 $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=100$，简化为 $2a_1+9d=20$。
   • 联立方程组解出 $a_1$ 和 $d$，注意可能有多组解。
2. 第二问（错位相减法）：
   • 筛选 $d>1$ 的情形，确定 $a_n$ 和 $b_n$。
   • 观察 $c_n$ 结构，分子为等差数列，分母为等比数列，满足错位相减法的适用条件。
   • 列出 $T_n$ 的表达式，两边同乘等比数列公比的倒数（即 $1/q$），错位后对应项相减。
   • 整理剩下的等比数列求和部分，得出 $T_n$ 的最终解析式。

✅【答案】

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（1）{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}有两组可能：𝑎𝑛=2𝑛−1,𝑏𝑛=2𝑛−1，或𝑎𝑛=2𝑛+799,𝑏𝑛=9(2

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求数列通项公式 由题意知 $b_2=b_{1}q=a_{1}d=2$。 又因为 $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=100$，即 $10a_1+45d=100$，化简得 $2a_1+9d=20$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_{1}d=2\\ 2a_1+9d=20\end{array}$ 由第一式得 $a_1=\frac{2}{d}$，代入第二式：$\frac{4}{d}+9d=20⟹9d^2-20d+4=0$。 解得 $(9d-2)(d-2)=0$，故 $d=2$ 或 $d=\frac{2}{9}$。

1. 当 $d=2$ 时，$a_1=1,q=2$，则： $a_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$； $b_n=1\times 2^{n-1}=2^{\mathbf{n}-1}$。
2. 当 $d=\frac{2}{9}$ 时，$a_1=9,q=\frac{2}{9}$，则： $a_n=9+(n-1)\times \frac{2}{9}=\frac{1}{9}(2n+79)$； $b_n=9\times (\frac{2}{9}{)}^{n-1}$。

（Ⅱ）利用错位相减法求 $T_n$ 因为 $d>1$，取 $d=2$，则 $c_n=\frac{2n-1}{2^{n-1}}$。 $T_n=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\cdots +\frac{2n-3}{2^{n-2}}+\frac{2n-1}{2^{n-1}}$ —— ① 两边同乘 $\frac{1}{2}$ 得： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots +\frac{2n-3}{2^{n-1}}+\frac{2n-1}{2^n}$ —— ② ① - ② 得： $\frac{1}{2}{T}_n=1+(\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\cdots +\frac{2}{2^{n-1}})-\frac{2n-1}{2^n}$ $\frac{1}{2}{T}_n=1+2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}})-\frac{2n-1}{2^n}$ 中间部分为等比数列求和： $\frac{1}{2}{T}_n=1+2\times \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{2^n}$ $\frac{1}{2}{T}_n=1+2(1-\frac{1}{2^{n-1}})-\frac{2n-1}{2^n}$ $\frac{1}{2}{T}_n=3-\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{4}{2^n}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$ 故 $T_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：数列基本量方程思想；错位相减法的标准流程（乘公比、错位相减、等比求和、整理）。
• 避坑指南：
  1. 项数问题：相减后中间的等比数列项数通常为 $n-1$，计算时需格外小心。
  2. 最后一项：错位相减后，最后一项的符号是负号，这是学生最常丢分的地方。
• 核心方法：错位相减法适用于 $\text{等差}\times \text{等比}$ 的形式。在本题中，$c_n=(2n-1)\times (\frac{1}{2}{)}^{n-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于数列 $u_n=(An+B)r^n$，其前 $n$ 项和 $T_n$ 结构恒为 $(Cn+D)r^n+K$。
• 方法推广:
  • 裂项相消法：适用于分母为两个等差数列项乘积的数列。
• 相关知识点: 、数列的极限、数学归纳法在数列证明中的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-18 解-通项公式与求和公式
• 2013年湖北卷理-18
• 2012-湖北卷理-18