2015-湖北卷文-22 解-作图工具椭圆

本题导读

由 $\overrightarrow{NM}=3\overrightarrow{ND}$ 与 $ON=DN=1$ 消参得 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；切线条件代入得 $p^2{q}^2=2(p^2+q^2)$，$r=|pq|\ge 4$，面积 $2r\ge 8$，$y=2$ 时取到。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 一种作图工具如图①所示. $O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处铰链与 $ON$ 连接，$MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$，$MN=3$. 当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（$D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$. 以 $O$ 为原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图②所示的平面直角坐标系.

(1) 求曲线 $C$ 的方程；

(2) 设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1:x-2y=0$ 和 $l_2:x+2y=0$ 分别交于 $P$，$Q$ 两点. 若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$△OPQ$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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由 $\overrightarrow{NM}=3\overrightarrow{ND}$ 与 $ON=DN=1$ 消参得 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；切线条件代入得 $p^2{q}^2=2(p^2+q^2)$，$r=|pq|\ge 4$，面积 $2r\ge 8$，$y=2$ 时取到。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) 存在，最小值为 $8$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $N=(u,v)$，$D=(t,0)$。由 $ON=DN=1$ 得 $u^2+v^2=1$，$(t-u{)}^2+v^2=1$。两式相减得 $t^2-2tu=0$，除去退化位置 $D=O$ 外 $t=2u$（由连续性退化位置也成立）。

因 $D$ 在线段 $MN$ 上且 $DN=1$、$MN=3$，故 $\overrightarrow{NM}=3\overrightarrow{ND}$。设 $M=(X,Y)$，则

$M=N+3(D-N)=(3t-2u,-2v)=(4u,-2v)$。

于是 $X=4u$，$Y=-2v$，代入 $u^2+v^2=1$ 得 $\frac{X^2}{16}+\frac{Y^2}{4}=1$，即 $C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。

(2) $l$ 与椭圆只有一个公共点，故 $l$ 是椭圆的切线。设 $P=(2p,p)\in l_1$，$Q=(-2q,q)\in l_2$，则过 $P$、$Q$ 的直线方程为

$(p-q)x-2(p+q)y+4pq=0$。

一般直线 $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ 与椭圆 $C$ 相切的条件为 ${\gamma }^2=16{\alpha }^2+4{\beta }^2$（将椭圆参数化为 $x=4\cos \theta$、$y=2\sin \theta$，则 $4\alpha \cos \theta +2\beta \sin \theta +\gamma =0$ 恰有一解 $⟺|\gamma |=\sqrt{16{\alpha }^2+4{\beta }^2}$）。

于是 $16p^2{q}^2=16(p-q{)}^2+16(p+q{)}^2=32(p^2+q^2)$，即 $p^2{q}^2=2(p^2+q^2)$。

记 $r=|pq|>0$。由基本不等式 $p^2+q^2\ge 2|pq|=2r$，得 $r^2=2(p^2+q^2)\ge 4r$，故 $r\ge 4$。

又 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}\left||\begin{array}{cc}2p& p\\ -2q& q\end{array}|\right|=2|pq|=2r\ge 8$。

当 $p=q=2$ 时，$P=(4,2)$、$Q=(-4,2)$，直线 $l$ 为 $y=2$，与椭圆相切且 $S=8$。故面积存在最小值，最小值为 $8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程与轨迹方程；直线与椭圆相切；基本不等式求最值

核心方法：参数法 + 向量关系消参；参数化切线条件；行列式算面积 + 均值不等式

避坑指南：①$\overrightarrow{NM}=3\overrightarrow{ND}$ 的方向（$M$ 在 $ND$ 延长线上）别弄反；②切线条件 ${\gamma }^2=16{\alpha }^2+4{\beta }^2$ 来自参数化”恰一解”；③$S_{△OPQ}=2|pq|$ 中行列式取绝对值，别丢系数 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以滑槽长短杆作图工具为背景的压轴题乍看全新，新浪点评指出”只要仔细读题均能找到椭圆的 $a$，$b$“——本质是参数法轨迹 + 切线最值的经典组合。

结论推广：切线条件推广：直线 $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ 与 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 相切 $⟺{\gamma }^2=a^2{\alpha }^2+b^2{\beta }^2$，证明用椭圆参数化”恰一解”即可。

方法推广：机械背景题按”拆机构、列参数、消参数”三步走；切线最值优先用参数化切线条件 + 均值不等式，避免硬算韦达。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-22
• 2012-湖北卷理-22
• 2015-湖北卷理-21 解-椭圆定义