2015-湖北卷理-21 解-椭圆定义

本题导读

本题是 2015 年湖北理科卷的压轴大题。第一问通过机械联动装置考查相关点法求轨迹方程，重点在于几何关系的代数化；第二问探究动直线与椭圆相切时，其与定直线交点围成三角形面积的最值问题，综合性极强，涉及参数计算、判别式及分式函数的最值讨论。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 一种作图工具如图 1 所示，$O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处铰链与 $ON$ 连接，$MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$，$MN=3$.当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周，$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$.以 $O$ 为原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.

(1) 求曲线 $C$ 的方程；

(2) 设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1:x-2y=0$ 和 $l_2:x+2y=0$ 分别交于 $P,Q$ 两点.若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$△OOQP$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求轨迹方程）：
   • 建立几何关系：设 $M(x,y),N(x_0,y_0),D(t,0)$。
   • 比例关系：由 $MN=3,DN=1$ 知 $D$ 分 $MN$ 为 $2:1$，利用向量共线得出 $M,N,D$ 的坐标关系：$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{DN}$。
   • 已知轨迹：$N$ 点绕原点 $O$ 转动且 $ON=1$，故 $N$ 在单位圆 $x_0^2+y_0^2=1$ 上。
   • 代换求解：将 $x_0,y_0$ 用 $x,y$ 表示并代入单位圆方程。
2. 第二问（面积最值探究）：
   • 相切条件：直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点，即 $l$ 是椭圆的切线。设 $l:y=kx+m$，利用联立方程后的判别式 $\Delta =0$ 确定 $m^2$ 与 $k^2$ 的关系。
   • 求交点坐标：联立 $l$ 与 $l_1,l_2$ 求出 $P,Q$ 的坐标。
   • 面积公式：利用 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}|x_P{y}_Q-x_Q{y}_P|$ 或底乘高公式表达面积。
   • 最值讨论：将面积表达为关于 $k^2$ 的分式函数，利用基本不等式或单调性求最小值。

✅【答案】

点击查看答案

综上所述，$△OPQ$ 的面积存在最小值，最小值为 8。此时直线 $l$ 为椭圆在四个顶点处的切线

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程

设 $M(x,y),N(x_0,y_0),D(t,0)$。 由题意，$ON=DN=1$，故点 $N$ 在以 $O$ 为圆心的单位圆上，即 $x_0^2+y_0^2=1$。 在杆 $MN$ 上，由于 $MN=3,DN=1$，得 $MD=2$。 因为 $M,D,N$ 三点共线且 $D$ 在 $MN$ 之间，故 $\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{DN}$。 即 $(t-x,-y)=2(x_0-t,y_0)$， 解得 $\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{3t-x}{2}\\ y_0=-\frac{y}{2}\end{array}$。 又由 $△OND$ 为等腰三角形（$ON=DN=1$），过 $N$ 作 $x$ 轴垂线，由对称性知 $t=2x_0$。 将 $t=2x_0$ 代入 $x_0=\frac{3t-x}{2}$ 得 $x_0=\frac{6x_0-x}{2}⟹2x_0=6x_0-x⟹x_0=\frac{x}{4}$。 代入单位圆方程：$(\frac{x}{4}{)}^2+(-\frac{y}{2}{)}^2=1⟹\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。 故曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。

（Ⅱ）探究 $△OPQ$ 面积的最小值 由（Ⅰ）知曲线 $C$ 为椭圆。当直线 $l$ 斜率不存在时，$l$ 为 $x=\pm 4$。 以 $x=4$ 为例，代入 $l_1,l_2$ 得 $P(4,2),Q(4,-2)$。此时 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}\times |2-(-2)|\times 4=8$。 当 $l$ 斜率存在时，设 $l:y=kx+m$。

1. 相切条件：联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ x^2+4y^2=16\end{array}$ 得 $(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-16=0$。 由 $\Delta =64k^2{m}^2-4(1+4k^2)(4m^2-16)=0$，简化得 $m^2=16k^2+4$ —— ①。
2. 计算交点：联立 $l$ 与 $x\mp 2y=0$ 解得： $P(\frac{2m}{1-2k},\frac{m}{1-2k})$，$Q(\frac{-2m}{1+2k},\frac{m}{1+2k})$。
3. 计算面积： $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}|x_P{y}_Q-x_Q{y}_P|=\frac{1}{2}|\frac{2m^2}{(1-2k)(1+2k)}-\frac{-2m^2}{(1-2k)(1+2k)}|=\frac{2m^2}{|1-4k^2|}$ —— ②。 将 ① 代入 ②：$S_{△OPQ}=\frac{2(16k^2+4)}{|1-4k^2|}=8\cdot \frac{4k^2+1}{|1-4k^2|}$。 令 $u=4k^2\ge 0$，$S=8\cdot \frac{u+1}{|1-u|}$。
   • 若 $u>1$，$S=8\cdot \frac{u+1}{u-1}=8(1+\frac{2}{u-1})>8$。
   • 若 $0\le u<1$，$S=8\cdot \frac{u+1}{1-u}=8(-1+\frac{2}{1-u})$。 当 $u=0$（即 $k=0$）时，$S$ 取得最小值 $8(-1+2)=8$。

综上所述，$△OPQ$ 的面积存在最小值，最小值为 8。此时直线 $l$ 为椭圆在四个顶点处的切线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：轨迹方程的相关点代换法；直线与椭圆相切的判别式应用；解析几何背景下的最值优化。
• 避坑指南：第一问中 $t=2x_0$ 是由于 $ON=DN=1$ 形成的等腰三角形性质，漏掉此几何关系会导致无法消去参数 $t$。
• 第二问的计算量主要集中在交点坐标的求取。利用 $x_P{y}_Q-x_Q{y}_P$ 这一面积公式可以绕开底和高的复杂计算，是解决解析几何面积问题的“提速神器”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其任意切线与渐近线（或类似定直线）围成的三角形面积在切点为顶点时往往取得极值。
• 方法推广:
  • 极坐标法：第一问也可以通过转动角度 $\theta$ 建立参数方程求解。
• 相关知识点: 、柯西不等式在面积最值中的应用、平面向量的数量积与面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-21
• 2014-湖北卷理-21 解-抛物线定义
• 2012-湖北卷理-21