2015-湖北卷理-03 单-二项式系数

本题导读

本题考查二项式系数的对称性以及二项式系数和的性质。通过第 4 项与第 8 项二项式系数相等确定幂指数 $n$，再利用奇数项二项式系数和公式求解。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 已知 $(1+x{)}^n$ 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 ()

A. $2^{12}$　　　　　　B. $2^{11}$　　　　　　C. $2^{10}$　　　　　　D. $2^9$

🔍【思路分析】

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1. 确定 $n$ 的值：根据二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{x}^r$，第 $k$ 项的二项式系数为 $C_n^{k-1}$。利用 $C_n^3=C_n^7$ 以及二项式系数的对称性 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 建立方程求出 $n$。
2. 利用系数和性质：二项式展开式中，所有二项式系数的和为 $2^n$，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，均为总和的一半，即 $2^{n-1}$。
3. 计算结果：将 $n$ 代入公式 $2^{n-1}$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $n$ 的值 在 $(1+x{)}^n$ 的展开式中： 第 4 项的二项式系数为 $C_n^3$； 第 8 项的二项式系数为 $C_n^7$。 已知 $C_n^3=C_n^7$，根据组合数的性质 $C_n^r=C_n^{n-r}$， 得 $3+7=n$，解得 $n=10$。

第二步：求奇数项的二项式系数和 二项式系数的总和为 $C_{10}^0+C_{10}^1+\cdots +C_{10}^{10}=2^{10}$。 奇数项（即第 1, 3, 5, 7, 9 项）的二项式系数分别为 $C_{10}^0,C_{10}^2,C_{10}^4,C_{10}^6,C_{10}^8,C_{10}^{10}$。 (注：此处“奇数项”指项的序号为奇数，对应的 $r$ 为偶数) 根据性质：奇数项二项式系数之和 = 偶数项二项式系数之和 = $\frac{1}{2}\times 2^n=2^{n-1}$。 所以奇数项的二项式系数和为 $2^{10-1}=2^9$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：
  1. 二项式系数对称性：$C_n^r=C_n^{n-r}$。
  2. 二项式系数和：${\sum }_{r=0}^n{C}_n^r=2^n$。
  3. 奇偶项系数和相等：$C_n^0+C_n^2+\cdots =C_n^1+C_n^3+\cdots =2^{n-1}$。
• 避坑指南：注意区分“二项式系数”与“展开式系数”。二项式系数仅指 $C_n^r$，与括号内的系数无关；同时注意“第 $k$ 项”对应的组合数下标是 $k-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于 $(a+b{)}^n$，其奇数项系数和与偶数项系数和恒相等。
• 方法推广:
  • 赋值法：令 $x=1$ 可得所有项系数和，令 $x=-1$ 可得奇偶项系数之差。
• 相关知识点: 杨辉三角、组合数性质、赋值法求展开式系数和。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-02 单-二项式通项
• 2012-湖北卷理-01
• 2011-湖北卷理-11