2014-湖北卷理-02 单-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式。通过建立通项公式，利用指数幂的运算性质确定特定项的序号，进而根据系数建立方程求解实数 $a$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 若二项式 $(2x+\frac{a}{x}{)}^7$ 的展开式中 $\frac{1}{x^3}$ 的系数是 84，则实数 $a=$ ()

A. 2　　　　　　　B. $\sqrt[5]{4}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立通项公式：写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 分离变量与常数：将通项公式改写为“系数 $\times x^n$”的形式。
3. 确定 $r$ 值：令 $x$ 的幂指数等于 $-3$（即 $\frac{1}{x^3}$），求出对应的项数 $r$。
4. 列方程求解：将 $r$ 代入系数表达式，使其等于 84，解出 $a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

二项式 $(2x+\frac{a}{x}{)}^7$ 的展开通项公式为： $T_{r+1}=C_7^r\cdot (2x{)}^{7-r}\cdot (\frac{a}{x}{)}^r$ 将常数项与变量 $x$ 分离： $T_{r+1}=C_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot a^r\cdot x^{7-r}\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot a^r\cdot x^{7-2r}$ 已知该项为 $\frac{1}{x^3}$，即 $x^{-3}$，令指数相等： $7-2r=-3⟹2r=10⟹r=5$ 此时该项的系数为： $C_7^5\cdot 2^{7-5}\cdot a^5=84$ 计算组合数 $C_7^5=C_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$： $21\cdot 2^2\cdot a^5=84$ $21\cdot 4\cdot a^5=84$ $84\cdot a^5=84⟹a^5=1$ 解得实数 $a=1$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理的通项公式

2. 核心方法：写出通项 $T_{r+1}=C_7^r(2x{)}^{7-r}(\frac{a}{x}{)}^r$，令 $7-2r=-3$ 定 $r$，再列系数方程

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式展开通项公式

2. 结论推广: 指定项可通过令变量指数相等确定 $r$。

3. 方法推广: 可迁移到求二项式指定项系数、求参数类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项