2015-湖北卷理-09 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的新定义运算——集合的“和集”（闵可夫斯基和）。通过解析几何中的整点（格点）模型，将抽象的集合加法转化为坐标平面上点集的平移与覆盖问题，综合性较强。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 已知集合 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,x,y\in \mathbb{Z}\}$，$B=\{(x,y)\mid |x|\le 2,|y|\le 2,x,y\in \mathbb{Z}\}$，定义集合 $A\oplus B=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$，则 $A\oplus B$ 中元素的个数为 ()

A. 77　　　　　　　B. 49　　　　　　　C. 45　　　　　　　D. 30

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新定义：$A\oplus B$ 的元素是由 $A$ 中的一个整点与 $B$ 中的一个整点横纵坐标分别相加得到的新坐标点。
2. 列举集合元素：
   • 集合 $A$ 是单位圆内部及圆上的整点：$(0,0),(\pm 1,0),(0,\pm 1)$。共 5 个点。
   • 集合 $B$ 是边长为 4 的正方形区域内的整点：$x,y\in \{-2,-1,0,1,2\}$。共 $5\times 5=25$ 个点。
3. 确定结果范围：
   • 新点的横坐标 $x=x_1+x_2$ 的取值范围：$x_1\in \{-1,0,1\}$，$x_2\in \{-2,\dots ,2\}$，故 $x\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$。
   • 同理，纵坐标 $y\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$。
   • 所有的结果都包含在 $7\times 7$ 的格点阵中。
4. 排除无法生成的点：观察格点的边界情况。例如点 $(3,3)$ 是否能生成？$x_1+x_2=3$ 要求 $x_1=1,x_2=2$；$y_1+y_2=3$ 要求 $y_1=1,y_2=2$。但点 $(1,1)\notin A$（因为 $1^2+1^2=2>1$），故 $(3,3)\notin A\oplus B$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出集合 A 和 B 的点集 集合 $A$: $(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$。 集合 $B$: $\{(x,y)\mid x,y\in \{-2,-1,0,1,2\}\}$。

第二步：分析 $A\oplus B$ 的边界 新生成的点 $(X,Y)$ 满足 $X=x_1+x_2,Y=y_1+y_2$。 最大范围是一个 $7\times 7$ 的正方形点阵，总数为 $7\times 7=49$ 个。 我们需要检查这个 $7\times 7$ 点阵中哪些点不能由 $A$ 和 $B$ 中的点相加得到。

第三步：排除边缘顶点 考察点 $(3,3)$： 若 $x_1+x_2=3$，唯一可能为 $x_1=1,x_2=2$。 若 $y_1+y_2=3$，唯一可能为 $y_1=1,y_2=2$。 则要求 $(x_1,y_1)=(1,1)$。 但在集合 $A$ 中，$1^2+1^2=2>1$，所以 $(1,1)\notin A$。 因此，点 $(3,3)$ 无法生成。 同理，利用对称性，四个角点 $(3,3),(3,-3),(-3,3),(-3,-3)$ 都无法生成。

第四步：验证其他边缘点 考察点 $(3,2)$： 令 $(x_1,y_1)=(1,0)\in A$，$(x_2,y_2)=(2,2)\in B$。 则 $(1+2,0+2)=(3,2)\in A\oplus B$。 考察点 $(2,3)$： 令 $(x_1,y_1)=(0,1)\in A$，$(x_2,y_2)=(2,2)\in B$。 则 $(0+2,1+2)=(2,3)\in A\oplus B$。 经检验，除了四个顶点外，其余 $7\times 7$ 范围内的点均可生成。

计数：$49-4=45$。

故选：C。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合的新定义运算及其几何化展示。
• 关键思维：
  1. 整体控制：先确定新点集的最大矩形范围。
  2. 局部排除：分析最极端的边界点是否满足构成条件。
• 避坑指南：不要盲目地用 $5\times 25=125$ 去计算，因为很多点是重合的。集合元素的互异性要求我们统计的是不同的坐标对。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若集合 $A$ 是半径为 $R_1$ 的圆内整点，$B$ 是半径为 $R_2$ 的圆内整点，则 $A\oplus B$ 趋向于半径为 $R_1+R_2$ 的圆内整点（闵可夫斯基和性质）。
• 方法推广: 处理此类问题，手绘一个小型的网格图并标出 $A$ 的形状，然后想象这个形状在 $B$ 的每个点上进行“平移覆盖”，所有覆盖到的点即为结果。
• 相关知识点: 闵可夫斯基和、向量加法的几何意义、格点多边形面积（皮克定理）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-9
• 2013年湖北卷理-16
• 2014-湖北卷理-12 填-直线与圆