2014-湖北卷理-12 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆相交产生的弦长及弧长问题。关键在于理解“四段弧长度相等”所隐含的几何对称性，并利用点到直线的距离公式建立代数方程。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 直线 $l_1:y=x+a$ 和 $l_2:y=x+b$ 将单位圆 $C:x^2+y^2=1$ 分成长度相等的四段弧，则 $a^2+b^2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析几何条件：单位圆被两条平行直线（斜率均为 1）分成四段弧。要使这四段弧长度相等，每段弧所对的圆心角必须均为 $90^{\circ }$（即 $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$）。
2. 转化弦心距：弧长相等意味着这两条直线相对于圆心对称，且每条直线截圆所得的劣弧圆心角为 $90^{\circ }$。
3. 建立方程：
   • 设圆心 $(0,0)$ 到直线 $l_1$ 的距离为 $d_1$，到 $l_2$ 的距离为 $d_2$。
   • 在直角三角形（由半径、弦的一半、弦心距构成）中，利用 $d^2+(\frac{L}{2}{)}^2=R^2$ 或直接利用圆心角关系求出 $d$。
   • 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 建立关于 $a,b$ 的等式。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何图形分析 由于两条直线平行且将圆平分为四段相等的弧，圆心 $O(0,0)$ 必然位于两直线中间。 每段弧对应的圆心角为 $90^{\circ }$。 对于直线 $l_1:x-y+a=0$，它截圆所得的弦所对的圆心角为 $90^{\circ }$。 在由圆心、弦的中点、弦的一个端点构成的直角三角形中：

• 半径 $R=1$。
• 圆心角的一半为 $45^{\circ }$。
• 弦心距 $d_1=R\cdot \cos 45^{\circ }=1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

第二步：代数求解 利用点到直线距离公式： $d_1=\frac{|1\cdot 0-1\cdot 0+a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$ 所以 $\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹|a|=1⟹a^2=1$。 同理，对于直线 $l_2:x-y+b=0$，由对称性或同样的弧长要求可知： $d_2=\frac{|b|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹b^2=1$ 注意：要使四段弧“长度相等”且连续分布，这两条直线必须位于圆心两侧，即 $a$ 与 $b$ 异号（如 $a=1,b=-1$），此时中间部分的弧长也是 $90^{\circ }$。

第三步：计算结论 $a^2+b^2=1+1=2$

故答案为 2


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的弦长、弧长与弦心距

2. 核心方法：由四段弧相等得每段圆心角 $90^{\circ }$，弦心距 $d=R\cos 45^{\circ }$，用距离公式求 $a,b$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 垂径定理与点到直线距离公式

2. 结论推广: 弧相等对应弦心距相等且两直线关于圆心对称。

3. 方法推广: 可迁移到直线与圆弦长、弧长与弦心距类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆
• 2015-湖南卷文-13 填-直线与圆
• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆