2015-湖北卷理-15 填-切割线定理

本题导读

本题考查圆的切线与割线的性质。通过切割线定理建立线段长度的等量关系，再利用弦切角定理判定三角形相似，从而将待求的线段比转化为已知的线段比。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$PA$ 是圆的切线，$A$ 为切点，$PBC$ 是圆的割线，且 $BC=3PB$，则 $\frac{AB}{AC}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用切割线定理：已知 $PA$ 为切线，$PBC$ 为割线，由切割线定理得 $P{A}^2=PB\cdot PC$。
2. 线段比例转化：已知 $BC=3PB$，可得 $PC=PB+BC=4PB$。代入定理求出 $PA$ 与 $PB$ 的长度关系。
3. 寻找相似三角形：
   • 观察图形，$△PAB$ 与 $△PCA$ 共有公共角 $\angle P$。
   • 根据弦切角定理，切线 $PA$ 与弦 $AB$ 所成的角 $\angle PAB$ 等于该弦所对的圆周角 $\angle PCA$。
   • 判定 $△PAB\sim △PCA$。
4. 利用相似比求解：根据相似三角形对应边成比例，得出 $\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{PA}$，代入已知数值即可。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用切割线定理求 $PA$ 因为 $PA$ 是圆的切线，$PBC$ 是圆的割线， 由切割线定理得：$P{A}^2=PB\cdot PC$。 因为 $BC=3PB$，所以 $PC=PB+BC=4PB$。 代入公式得：$P{A}^2=PB\cdot (4PB)=4P{B}^2$。 所以 $PA=2PB$。

第二步：证明三角形相似 在 $△PAB$ 和 $△PCA$ 中：

1. $\angle P=\angle P$（公共角）。
2. 根据弦切角定理，$\angle PAB=\angle PCA$（或记作 $\angle C$）。 因此，$△PAB\sim △PCA$（两角对应相等的两个三角形相似）。

第三步：求比例值 由相似三角形对应边成比例得： $\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{PA}$ 将 $PA=2PB$ 代入： $\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{2PB}=\frac{1}{2}$

答案：1/2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：切割线定理（$P{A}^2=PB\cdot PC$）和弦切角定理。
• 避坑指南：注意 $PC$ 是整条割线的长度，不要错用成 $P{A}^2=PB\cdot BC$。
• 在圆的比例问题中，切线往往是联系不同线段比例的桥梁。判定 $△PAB\sim △PCA$ 是此类题目的标准套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在相同的图形结构中，恒有 $\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$。
• 方法推广:
  • 相似三角形性质：相似三角形的周长比、面积比也常作为考点。
• 相关知识点: 相交弦定理、圆幂定理、圆内接四边形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理

类题演练(Links)

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