2014-湖北卷理-15 填-切割线定理

本题导读

本题考查平面几何中圆的比例线段性质。核心在于灵活运用切割线定理求出部分切线长，再利用切线长定理及中点定义求出目标长度。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） （选修4-1：几何证明选讲）如图，$PA,PB$ 为 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$.过 $PA$ 的中点 $Q$ 作割线交 $\odot O$ 于 $C,D$ 两点.若 $QC=1,CD=3$，则 $PB=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 运用切割线定理：由于 $QA$ 是 $\odot O$ 的切线，$QCD$ 是割线，根据切割线定理有 $Q{A}^2=QC\cdot QD$。
2. 计算 $QA$：已知 $QC$ 和 $CD$，可得 $QD=QC+CD$，从而求出 $QA$。
3. 利用中点与切线长定理：
   • 因为 $Q$ 是 $PA$ 的中点，所以 $PA=2QA$。
   • 根据切线长定理，从圆外一点引出的两条切线长相等，即 $PB=PA$。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：应用切割线定理 在 $\odot O$ 中，$QA$ 为切线，$QCD$ 为割线， 由切割线定理得： $Q{A}^2=QC\cdot QD$ 已知 $QC=1,CD=3$， 则 $QD=QC+CD=1+3=4$。 代入公式： $Q{A}^2=1\times 4=4$ 解得 $QA=2$（长度为正）。

第二步：利用中点定义与切线长定理 因为 $Q$ 是 $PA$ 的中点， 所以 $PA=2QA=2\times 2=4$。 又因为 $PA,PB$ 均为 $\odot O$ 的切线， 由切线长定理得： $PB=PA=4$

故答案为 4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切割线定理与切线长定理

2. 核心方法：由 $Q{A}^2=QC\cdot QD$ 求 $QA$，再由中点与切线长得 $PB=PA=2QA$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆幂定理中的切割线定理

2. 结论推广: 切线长定理：圆外一点两切线长相等。

3. 方法推广: 可迁移到圆的切线、割线比例线段类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦