本题导读
本题是一道结合线性规划与概率统计的综合应用题。通过线性规划确定不同原材料供给下的最大获利，进而构建随机变量的分布列，最后利用二项分布模型解决多日概率问题。
📌【题干】
Question
（2015年湖北卷(理)） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶制品.生产 1 吨 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元.要求每天 产品的产量不超过 产品产量的 2 倍，设备每天生产 两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为：
| | 12 | 15 | 18 | | | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大.因此每天的最大获利 （单位：元）是一个随机变量.
(1) 求 的分布列和均值；
(2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率.
🔍【思路分析】
破题导航
- 线性规划建模：设每天生产 产品分别为 吨，获利为 。
- 约束条件：
- 牛奶限制：
- 时间限制：
- 产量比例：
- 非负限制：
- 分类讨论求 ：针对 三种情况，分别画出可行域，通过平移目标函数直线求出对应的最大获利 。
- 构建分布列：将 的概率对应到 的取值上，计算 。
- 计算概率：
- 先求单日获利超过 10000 元的概率 。
- 3 天中“至少有 1 天”转为对立事件“3 天均不超过”，利用 求解。
✅【答案】
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3 天中至少有 1 天获利超过 10000 元的概率为：
✍【详细解析】
Abstract
（Ⅰ）求 的分布列和均值 设每天生产 两种产品的数量分别为 吨，获利为 。 则约束条件为：
- 当 时，可行域顶点为 。 目标函数 在点 处取得最大值： 元。
- 当 时，可行域顶点为 。 目标函数在点 处取得最大值： 元。
- 当 时，牛奶约束变为 。可行域顶点为 。 经比较，目标函数在点 处（牛奶与时间限制交点）取得最大值： 元。
的分布列为：
8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 均值 元。
（Ⅱ）计算 3 天的概率 由（Ⅰ）知，一天最大获利超过 10000 元的取值为 10200 或 10800。 其概率 。 记“3 天中获利超过 10000 元的天数”为随机变量 ，则 。 3 天中至少有 1 天获利超过 10000 元的概率为： 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线性规划目标函数的几何意义（截距法）；独立重复试验的二项分布模型。
- 避坑指南：
- 在 时，可行域的形状发生了变化（牛奶限制线移到了时间限制线右上方），顶点选取需重新通过图解法判定，不能盲目套用前两个 的结论。
- 计算 时，务必检查是否符合“相互独立”这一二项分布的前提条件。
- 核心方法：线性规划解决最优方案，分布列解决期望指标，二项分布解决多阶段概率。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 结论推广: 若牛奶供应量 变为连续型随机变量（如正态分布），则最大获利 也将变为连续型，需通过积分求期望。
- 方法推广:
- 敏感性分析：观察获利系数（1000 和 1200）的变化如何影响最优生产方案的顶点选择。
- 相关知识点: 、决策树分析、互斥事件与对立事件。
🔗【关联脉络】
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