2014-湖北卷理-20 解-二项分布

本题导读

本题通过水电站建设决策的实际背景，考查二项分布概率计算及离散型随机变量数学期望的应用。关键在于根据年入流量的概率分布，建立不同安装台数下的利润分布列并比较均值。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 $X$（单位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1) 求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；

(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系：

年入流量 $X$	$40<X<80$	$80\le X\le 120$	$X>120$
发电量最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据水文资料计算各阶段入流量概率。识别为独立重复试验，利用二项分布公式 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 计算“至多 1 年”即 $P(0)+P(1)$。
2. 第二问：核心是数学期望对比决策。
   • 设安装台数为 $n$（$n=1,2,3$）。
   • 设年总利润为 $Y$。
   • 分别写出 $n=1,2,3$ 时 $Y$ 的分布列，计算对应的数学期望 $E(Y)$。
   • 比较各 $E(Y)$ 的大小，选出最大值对应的 $n$。

✅【答案】

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(2) 决策分析（求期望最大值）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 计算概率 由题意，各段年入流量概率分别为： $P_1=P(40<X<80)=\frac{10}{50}=0.2$； $P_2=P(80\le X\le 120)=\frac{35}{50}=0.7$； $P_3=P(X>120)=\frac{5}{50}=0.1$。 设未来 4 年中，年入流量超过 120 的年份数为 $\xi$，则 $\xi \sim B(4,0.1)$。 至多 1 年超过 120 的概率为： $P(\xi \le 1)=P(\xi =0)+P(\xi =1)=C_4^0(0.9{)}^4+C_4^1(0.1{)}^1(0.9{)}^3$ $P(\xi \le 1)=0.6561+0.2916=0.9477$

(2) 决策分析（求期望最大值） 设水电站年总利润为 $Y$（单位：万元）。 ① 安装 1 台发电机时： 由于年入流量始终大于 40，发电机必能运行。 $Y=5000$， $E(Y{)}_1=5000\times 1=5000$。

② 安装 2 台发电机时：

• 当 $40<X<80$ 时（$P=0.2$），运行 1 台，闲置 1 台：$Y=5000-800=4200$；
• 当 $X\ge 80$ 时（$P=0.7+0.1=0.8$），运行 2 台：$Y=5000\times 2=10000$。 分布列如下： | $Y$ | 4200 | 10000 | | :--- | :---: | :---: | | $P$ | 0.2 | 0.8 | $E(Y{)}_2=4200\times 0.2+10000\times 0.8=840+8000=8840$。

③ 安装 3 台发电机时：

• 当 $40<X<80$ 时（$P=0.2$），运行 1 台，闲置 2 台：$Y=5000-1600=3400$；
• 当 $80\le X\le 120$ 时（$P=0.7$），运行 2 台，闲置 1 台：$Y=10000-800=9200$；
• 当 $X>120$ 时（$P=0.1$），运行 3 台：$Y=15000$。 分布列如下： | $Y$ | 3400 | 9200 | 15000 | | :--- | :---: | :---: | :---: | | $P$ | 0.2 | 0.7 | 0.1 | $E(Y{)}_3=3400\times 0.2+9200\times 0.7+15000\times 0.1=680+6440+1500=8620$。

对比： 因为 $E(Y{)}_2>E(Y{)}_3>E(Y{)}_1$，所以安装 2 台发电机时年总利润均值最大。 故应安装发电机 2 台。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布与离散型随机变量的期望决策

2. 核心方法：求概率后算 $\xi \sim B(4,0.1)$，分别列三种台数下的利润分布列比较期望

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项分布与数学期望

2. 结论推广: 至多 1 年超 120 的概率为 $C_4^0(0.9{)}^4+C_4^1(0.1)(0.9{)}^3$。

3. 方法推广: 可迁移到二项分布概率与期望对比决策类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-13 填-二项分布
• 2023-新高考II卷-12 多-二项分布
• 2013-新课标I卷理-19 解-二项分布