2015-湖南卷文-02 单-系统抽样

本题导读

成绩在 $[139,151]$ 的是第 11 至 30 号；抽样间隔 $35/7=5$，逐一枚举起始号 $r=1\dots 5$，各组都恰抽到 4 人，选 B。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 在一次马拉松比赛中，$35$ 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为 $1\sim 35$ 号，再用系统抽样的方法从中抽取 $7$ 人，则其中成绩在区间 $[139,151]$ 上的运动员的人数是 ()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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成绩在 $[139,151]$ 的是第 11 至 30 号；抽样间隔 $35/7=5$，逐一枚举起始号 $r=1\dots 5$，各组都恰抽到 4 人，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

按成绩由好到差排列：前 10 名成绩为 130 至 138 分钟，第 11 名成绩为 139 分钟，第 12 至第 28 名成绩为 141 至 148 分钟，第 29、30 名成绩分别为 150、151 分钟。因此成绩在 $[139,151]$ 上的运动员对应第 11 至第 30 号。

系统抽样的抽样间隔为 $\frac{35}{7}=5$。设第一个抽取的号码为 $r\in \{1,2,3,4,5\}$，抽取的号码为 $r,r+5,\dots ,r+30$。

当 $r=1,2,3,4,5$ 时，落在第 11 至第 30 号中的号码个数分别为 $4,4,4,4,4$。

故无论起始号如何，抽到该区间的人数都是 $4$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：茎叶图的读取；系统抽样

核心方法：先由茎叶图把成绩区间翻译成号码区间，再按间隔枚举

避坑指南：①成绩”由好到差”是升序排列（时间短为好）；②区间端点 139 与 151 各对应第 11 号与第 30 号，边界不要数错；③系统抽样的答案与起始号无关，这正是命题的精巧处。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：茎叶图 + 系统抽样的组合是统计小题的常见嫁接（doc 考点定位：茎叶图），本题以”人数与起点无关”收口，暗含统计思想。

结论推广：一般地，容量 $N$ 抽 $n$ 人间隔 $k=N/n$，编号区间 $[a,b]$ 内抽中人数 $=\lfloor \frac{b-a+1}{k}\rfloor$ 或 $\lceil \cdot \rceil$，起点的不同只会使人数差 1，本题区间长 20 恰为间隔 5 的整数倍，故人数恒定。

方法推广：系统抽样题先算间隔，再把”人数恒定”或”分段枚举”两个方向选准。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-02 单-简单随机抽样
• 2013年湖南卷理-2
• 2015-湖南卷理-12 填-茎叶图