2015-湖南卷文-20 解-抛物线椭圆

本题导读

公共弦 $4\sqrt{y_0}=2\sqrt{6}$ 得 $y_0=\frac{3}{2}$，解出 $a^2=9$、$b^2=8$；$|AC|=|BD|$ 化为 $x_B-x_A=x_D-x_C$，解得 $k=\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 已知抛物线 $C_1:x^2=4y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_2:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个焦点，$C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦长为 $2\sqrt{6}$. 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与 $C_2$ 相交于 $C$，$D$ 两点，且 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向.

(1) 求 $C_2$ 的方程；

(2) 若 $|AC|=|BD|$，求直线 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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公共弦 $4\sqrt{y_0}=2\sqrt{6}$ 得 $y_0=\frac{3}{2}$，解出 $a^2=9$、$b^2=8$；$|AC|=|BD|$ 化为 $x_B-x_A=x_D-x_C$，解得 $k=\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1$

(2) $k=\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $C_1:x^2=4y$ 的焦点为 $F(0,1)$。$F$ 也是椭圆的焦点且长轴在 $y$ 轴上，故 $a^2-b^2=1$。

将 $x^2=4y$ 代入椭圆：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{4y}{b^2}=1$，对 $y>0$ 左边关于 $y$ 严格递增，故两曲线只有一条水平公共弦。设端点纵坐标为 $y_0$，端点为 $(\pm 2\sqrt{y_0},y_0)$，弦长 $4\sqrt{y_0}=2\sqrt{6}$，得 $y_0=\frac{3}{2}$。

代入并令 $u=a^2$（$b^2=u-1$）：$\frac{9}{4u}+\frac{6}{u-1}=1$，化简得 $4u^2-37u+9=0$，$u=\frac{37\pm 35}{8}$。舍去 $u=\frac{1}{4}$（不满足 $u>1$），得 $a^2=9$，$b^2=8$。

故 $C_2:\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1$。

(2) 设 $l:y=kx+1$，记 $s=\sqrt{k^2+1}$。代入抛物线：$x^2-4kx-4=0$，两根 $x_A=2(k-s)$，$x_B=2(k+s)$，$x_B-x_A=4s$。

代入椭圆：$(9+8k^2)x^2+16kx-64=0$，判别式 $\Delta =256(k^2+9+8k^2)=2304s^2$，故

$x_D-x_C=\frac{\sqrt{\Delta }}{9+8k^2}=\frac{48s}{9+8k^2}$。

因 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向且 $|AC|=|BD|$，两段有向位移相等，$x_C-x_A=x_D-x_B$，即 $x_B-x_A=x_D-x_C$。

于是 $4s=\frac{48s}{9+8k^2}$，$9+8k^2=12$，$k^2=\frac{3}{8}$，故 $k=\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与椭圆的标准方程；公共弦；直线与圆锥曲线的弦长

核心方法：“单调性定唯一公共弦”；韦达定理与判别式算横坐标差；同向等长 $\to$ 有向位移相等

避坑指南：①求 $a^2$ 的一元二次方程有两个根，"$a>b>0\Rightarrow a^2>1$"舍去 $\frac{1}{4}$；②”$\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向”是把 $|AC|=|BD|$ 升级为”有向相等”的关键，直接写绝对值等式会多出增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点嫁接椭圆焦点、公共弦为桥梁，“过焦点的同弦双曲线”结构是圆锥曲线综合题的精品设计（doc 考点定位：直线与圆锥曲线的位置关系）。

结论推广：过 $y^2=2px$ 焦点的弦 $|AB|=x_B-x_A$ 乘 $\sqrt{k^2+1}$ 的”横坐标差”技巧，对任意过焦点的直线均适用；两条共焦点曲线的同弦问题，“等长同向”都化为同一直线上的坐标差等式。

方法推广：圆锥曲线计算三板斧：联立消元、韦达 + 判别式、几何条件翻译成坐标关系（同向等长 $\to$ 位移相等）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-20 解-椭圆性质
• 2009-湖南卷理-20
• 2014-湖南卷理-21 解-椭圆形标准方程