2007-湖南卷文-11 填-圆与直线相切求方程

本题导读

本题考查圆的方程，以及直线与圆相切。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 圆心为 $(1,1)$ 且与直线 $x+y=4$ 相切的圆的方程是　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $C(1,1)$，半径 = $C$ 到切线的距离。
2. $$\begin{gathered} r= \\ dfrac|1+1-4| \\ sqrt{1}^2+1^2= \\ dfrac2 \\ sqrt2= \\ sqrt2 \end{gathered}$$。
3. 圆的标准式 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$。

✅【答案】

点击查看答案

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $C(1,1)$，因圆与直线 $x+y=4$ 相切，故半径等于圆心到直线的距离： $$\begin{gathered} r= \\ dfrac|1+1-4| \\ sqrt{1}^2+1^2= \\ dfrac2 \\ sqrt2= \\ sqrt2 \end{gathered}$$． 故圆的方程为 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与直线相切求方程

核心方法：半径 = 圆心到切线距离：$r=\frac{|1+1-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

避坑指南：相切即 $d=r$，别用弦心距；标准方程圆心 $(1,1)$ 半径平方写 2

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与直线相切，解析几何基础题

结论推广：$d=r$ 是相切唯一条件

方法推广：圆的方程题先写圆心半径，再套距离公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷文-13 填-直线与圆
• 2012-湖南卷理-11
• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线
• 2015-湖南卷文-20 解-抛物线椭圆