2015-湖南卷理-05 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查对数函数的奇偶性与单调性判定，重点检验利用奇偶性定义及复合函数单调性判断基础函数性质的能力。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$，则 $f(x)$ 是 ()

A. 奇函数，且在 $(0,1)$ 是增函数

B. 奇函数，且在 $(0,1)$ 是减函数

C. 偶函数，且在 $(0,1)$ 是增函数

D. 偶函数，且在 $(0,1)$ 是减函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出函数 $f(x)$ 的定义域，确保其关于原点对称。
2. 计算 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，判定奇偶性。
3. 化简 $f(x)$ 为 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$，判断真数部分在 $(0,1)$ 上的单调性，进而确定 $f(x)$ 的单调性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{\begin{array}{l}1+x>0\\ 1-x>0\end{array}$ 得定义域为 $(-1,1)$，关于原点对称。

奇偶性判断： $f(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=-[\ln (1+x)-\ln (1-x)]=-f(x)$， 故 $f(x)$ 为奇函数。

单调性判断： $f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln \left(\frac{2}{1-x}-1\right)$。 当 $x\in (0,1)$ 时，$1-x$ 递减，$\frac{2}{1-x}-1$ 递增。 又因为 $y=\ln u$ 为增函数，根据复合函数单调性， $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数。

综上， $f(x)$ 是奇函数，且在 $(0,1)$ 上是增函数。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的运算性质、函数的奇偶性定义、复合函数单调性。
2. 核心方法：定义法求奇偶性，分式化简及复合函数“同增异减”求单调性。
3. 避坑指南：判定奇偶性前需先确定定义域，防止忽视定义域对称性条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于对数函数性质的经典考查，常作为双曲正切函数 $y=\tanh x$ 的反函数形式（或其变形）呈现在高考题中。
2. 结论推广：形如 $f(x)={\log }_a\left(\frac{1+x}{1-x}\right)(a>0,a\ne 1)$ 的函数在 $(-1,1)$ 上均为奇函数；当 $a>1$ 时，在 $(-1,1)$ 上单调递增；当 $0<a<1$ 时，在 $(-1,1)$ 上单调递减。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-16
• 2004-湖南理-12 单-导数的乘法运算法则
• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性