2014-湖南卷理-10 单-函数对称性

本题导读

本题作为选择题的压轴题，考查了函数对称性的代数转化以及利用零点存在性定理解决参数取值范围问题。核心在于将“图象上存在关于 $y$ 轴对称的点”等价转化为方程在给定区间内有解。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2+e^x-\frac{1}{2}$ ($x<0$) 与 $g(x)=x^2+\ln (x+a)$.若两函数图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,\frac{1}{\sqrt{e}})$　　　B. $(-\infty ,\sqrt{e})$　　　C. $(-\frac{1}{\sqrt{e}},\sqrt{e})$　　　D. $(-\sqrt{e},\frac{1}{\sqrt{e}})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化对称条件：若 $f(x)$ 图象上的点 $(x_0,f(x_0))$ 与 $g(x)$ 图象上的点 $(x_1,g(x_1))$ 关于 $y$ 轴对称，则必有 $x_1=-x_0$ 且 $g(x_1)=f(x_0)$。
2. 建立等价方程：由于 $f(x)$ 定义域为 $x<0$，设 $x\in (-\infty ,0)$，则存在 $x$ 使得 $f(x)=g(-x)$。 即：$x^2+e^x-\frac{1}{2}=(-x{)}^2+\ln (-x+a)$。 简化得：$e^x-\frac{1}{2}=\ln (a-x)⟺e^x-\ln (a-x)-\frac{1}{2}=0$。
3. 构造函数分析单调性：令 $h(x)=e^x-\ln (a-x)-\frac{1}{2}$。只需 $h(x)=0$ 在 $(-\infty ,0)$ 上有解。
4. 利用零点存在性定理：
   • 分析 $h(x)$ 在定义域内的增减性。
   • 考察区间端点的极限值或函数值，确保函数图象穿过 $x$ 轴。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：等价转化 由题意，存在 $x_0<0$，使得 $f(x_0)=g(-x_0)$。 代入解析式：$x_0^2+e^{x_0}-\frac{1}{2}=(-x_0{)}^2+\ln (-x_0+a)$ 消去 $x_0^2$ 项得：$e^{x_0}-\frac{1}{2}=\ln (a-x_0)$。 即方程 $e^x-\ln (a-x)-\frac{1}{2}=0$ 在 $(-\infty ,0)$ 上有解。

第二步：构造函数并求导 令 $h(x)=e^x-\ln (a-x)-\frac{1}{2}$，其定义域需满足 $a-x>0⟹x<a$。 因为我们要讨论 $x\in (-\infty ,0)$ 上的解，故定义域至少要包含此区间的一部分。 求导：$h^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{a-x}\cdot (-1)=e^x+\frac{1}{a-x}$。 在 $x<\min (a,0)$ 时，$e^x>0$ 且 $\frac{1}{a-x}>0$，所以 $h^{\prime }(x)>0$ 恒成立。 因此 $h(x)$ 在其定义域内是单调递增的。

第三步：讨论参数 $a$ 确定零点存在条件 若 $h(x)=0$ 在 $(-\infty ,0)$ 上有解，需满足： ${\lim }_{x\to -\infty }h(x)<0$ 且 $h(0)>0$（若 $a>0$）或者在定义域边界处趋于正无穷。

1. 当 $x\to -\infty$ 时： $e^x\to 0$，$\ln (a-x)\to +\infty$，故 $h(x)\to 0-(+\infty )-\frac{1}{2}=-\infty$。 这意味着函数左侧一定能取到负值。

2. 为了存在零点，右端点（或极限）必须大于 0：

   • 如果 $a\le 0$：当 $x\to a^{-}$ 时，$\ln (a-x)\to -\infty$，则 $h(x)\to e^a-(-\infty )-\frac{1}{2}=+\infty$。由于 $h(x)$ 连续且从 $-\infty$ 增到 $+\infty$，在 $(-\infty ,a)$ 间必有零点。又 $a\le 0$，故零点必在 $(-\infty ,0)$ 内。此时 $a\le 0$ 符合。
   • 如果 $a>0$：函数在 $[-\infty ,0]$ 上连续递增，只需 $h(0)>0$。 $h(0)=e^0-\ln (a-0)-\frac{1}{2}=1-\ln a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\ln a>0$。 $\ln a<\frac{1}{2}⟹a<e^{1/2}=\sqrt{e}$。 结合前提 $a>0$，得 $0<a<\sqrt{e}$。

第四步：综合结果 综上所述，$a<\sqrt{e}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数对称性转化与零点存在性

2. 核心方法：化为 $e^x-\ln (a-x)-\frac{1}{2}=0$ 在 $(-\infty ,0)$ 有解，求导判单调结合端点极限定 $a$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 图象对称的方程等价与零点存在性定理

2. 结论推广: 两图象关于 $y$ 轴对称等价于 $f(x)=g(-x)$ 有解。

3. 方法推广: 可迁移到函数图象对称与参数范围类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2015-福建卷文-15 填-函数图象对称性