2015-湖南卷理-20 解-椭圆性质

本题导读

本题是解析几何综合大题，考查椭圆与抛物线的综合应用。重点在于利用公共弦确定椭圆方程，以及利用向量同向等价转化为横坐标的关系，结合韦达定理求解直线斜率。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知抛物线 $C_1:x^2=4y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_2:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的一个焦点，$C_1$ 与 $C_2$ 公共弦的长为 $2\sqrt{6}$.

(1) 求 $C_2$ 的方程；

(2) 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 相交于 $A,B$ 两点，与 $C_2$ 相交于 $C,D$ 两点，且 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向.

（i）若 $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$，求直线 $l$ 的斜率；

（ii）设 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$△MFD$ 总是钝角三角形.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：抛物线焦点为 $(0,1)$，由此得到椭圆的半焦距 $c=1$。利用公共弦长 $2\sqrt{6}$ 及对称性确定交点坐标，代入方程建立关于 $a,b$ 的方程组。

2. 第二问 (i)：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ 意味着线段 $AB$ 与 $CD$ 的中点重合。通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理表达中点横坐标并建立等式求解斜率 $k$。

3. 第二问 (ii)：利用导数求出切线方程，进而得到点 $M$ 坐标。通过向量数量积 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FM}$ 的正负判断角 $\angle AFM$ 的性质，结合 $D,F,A$ 共线位置关系证明钝角三角形。

✅【答案】

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因为 $D,F,A$ 三点共线且 $F$ 位于 $D,A$ 之间，则 $\angle MFD=180^{\circ }-\angle AFM$。 由于 $\angle AFM$ 是锐角，故 $\angle MFD$ 必为钝角。 故 $△MFD$ 总是钝角三角形

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $C_2$ 的方程 抛物线 $C_1:x^2=4y$ 的焦点为 $F(0,1)$。 由题意，椭圆 $C_2$ 的焦点在 $y$ 轴上，且 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1⟹a^2-b^2=1$ ①。 设 $C_1,C_2$ 的交点为 $(\pm \sqrt{6},y_0)$，代入 $C_1$ 得 $(\pm \sqrt{6}{)}^2=4y_0⟹y_0=\frac{3}{2}$。 将 $(\sqrt{6},\frac{3}{2})$ 代入 $C_2$ 得 $\frac{9}{4a^2}+\frac{6}{b^2}=1$ ②。 联立 ①② 解得 $a^2=9,b^2=8$。 故 $C_2$ 的方程为：$\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1$。

（2）（i）求直线 $l$ 的斜率 设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+1$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$。 由于 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ 且同向，等价于 $x_3-x_1=x_4-x_2⟹x_1-x_2=x_3-x_4$。 两边平方得：$(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=(x_3+x_4{)}^2-4x_3{x}_4$ ③。

• 联立 $y=kx+1$ 与 $x^2=4y$ 得 $x^2-4kx-4=0$，由韦达定理：$x_1+x_2=4k,x_1{x}_2=-4$。

• 联立 $y=kx+1$ 与 $C_2$ 方程得 $(8k^2+9)x^2+16kx-64=0$，由韦达定理：$x_3+x_4=-\frac{16k}{8k^2+9},x_3{x}_4=-\frac{64}{8k^2+9}$。 代入 ③ 式整理得 $(8k^2+9{)}^2=144$，解得 $8k^2+9=12⟹k^2=\frac{3}{8}$。 故直线 $l$ 的斜率 $k=\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$。


（ii）证明 $△MFD$ 总是钝角三角形 由 $x^2=4y$ 得 $y=\frac{x^2}{4}$，求导得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$。 在 $A(x_1,y_1)$ 处的切线方程为 $y-y_1=\frac{x_1}{2}(x-x_1)$。 令 $y=0$，解得 $x_M=\frac{x_1}{2}$，即 $M(\frac{x_1}{2},0)$。 因为 $F(0,1)$，则 $\overrightarrow{FM}=(\frac{x_1}{2},-1)$，$\overrightarrow{FA}=(x_1,y_1-1)$。 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FM}=\frac{x_1^2}{2}-(y_1-1)=2y_1-y_1+1=y_1+1$。 由于 $y_1\ge 0$，故 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FM}>0$，即 $\angle AFM$ 为锐角。

因为 $D,F,A$ 三点共线且 $F$ 位于 $D,A$ 之间，则 $\angle MFD=180^{\circ }-\angle AFM$。 由于 $\angle AFM$ 是锐角，故 $\angle MFD$ 必为钝角。 故 $△MFD$ 总是钝角三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线定义的灵活应用；直线与圆锥曲线联立后的韦达定理变形。
• 在处理向量相等或共线问题时，“坐标化”是最高效的手段。第二问 (ii) 的证明巧妙地利用向量数量积正负来判定角度类型，避免了极其复杂的长度计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于抛物线 $x^2=2py$，过焦点弦两端点的切线交点必在准线上。
• 方法推广: 处理三角形形状问题时，优先考虑数量积判别法（数量积 $>0⟹$ 锐角，$=0⟹$ 直角，$<0⟹$ 钝角）。
• 相关知识点: 椭圆离心率、抛物线切线性质、阿基米德三角形。

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