2007-湖南卷文-21 解-三次函数极值与切线穿过

本题导读

本题考查导数极值。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 已知函数 $$\begin{gathered} f(x)= \\ dfrac13x^3+ \\ dfrac12a{x}^2+bx \end{gathered}$$ 在区间 $[-1,1)$，$(1,3]$ 内各有一个极值点． （1）求 $a^2-4b$ 的最大值； （2）当 $a^2-4b=8$ 时，设函数 $y=f(x)$ 在点 $$\begin{gathered} A(1, \\ f(1)) \end{gathered}$$ 处的切线为 $l$．若 $l$ 在点 $A$ 处穿过 $y=f(x)$ 的图象（即动点在点 $A$ 附近沿曲线 $y=f(x)$ 运动，经过点 $A$ 时，从 $l$ 的一侧进入另一侧），求函数 $f(x)$ 的表达式．

🔍【思路分析】

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1. $$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(x)=x^2+ax+b \end{gathered}$$，两根 $x_1<x_2$ 分布在 $[-1,1)$ 与 $(1,3]$。
2. 韦达：$x_1+x_2=-a$，$x_1{x}_2=b$，$a^2-4b=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=(x_2-x_1{)}^2$。
3. $x_2-x_1<3-(-1)=4$；$x_1=-1$、$x_2=3$ 时 $$\begin{gathered} f^{ \\ prime}=(x+1)(x-3) \end{gathered}$$，$a=-2$、$b=-3$ 合法取到 4，故最大值 $4^2=16$。
4. (2) $$\begin{gathered} g(x)=f(x)-f(1)-f^{ \\ prime}(1)(x-1) \end{gathered}$$，展开 $$\begin{gathered} g=(x-1{)}^2 \\ left(1+ \\ dfraca2 \\ right)+ \\ dfrac(x-1{)}^{3}3 \end{gathered}$$。
5. “穿过”即 $g$ 在 $x=1$ 两侧变号：$$\begin{gathered} 1+ \\ dfraca2 \\ neq0 \end{gathered}$$ 时 $g$ 恒同号不变号；$a=-2$ 时 $$\begin{gathered} g= \\ dfrac(x-1{)}^{3}3 \end{gathered}$$ 变号。
6. $a^2-4b=8$ 且 $a=-2$：$b=-1$，$$\begin{gathered} f(x)= \\ dfrac{x}^{3}3-x^2-x \end{gathered}$$。

✅【答案】

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（1）最大值 16；（2）$$\begin{gathered} f(x)= \\ dfrac13x^3-x^2-x \end{gathered}$$

✍【详细解析】

Abstract

$$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(x)=x^2+ax+b \end{gathered}$$，设其两根为 $x_1<x_2$，由极值点分布知 $$\begin{gathered} x_1 \\ in[-1,1) \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} x_2 \\ in(1,3] \end{gathered}$$． （1）$a^2-4b=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=(x_2-x_1{)}^2$． 因 $$\begin{gathered} -1 \\ leqslant{x}_1<1<x_2 \\ leqslant3 \end{gathered}$$，故 $x_2-x_1<3-(-1)=4$，$a^2-4b<16$． 当 $x_1=-1$，$x_2=3$ 时，$$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(x)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3 \end{gathered}$$，即 $a=-2$，$b=-3$，此时 $$\begin{gathered} x_1=-1 \\ in[-1,1) \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} x_2=3 \\ in(1,3] \end{gathered}$$，符合题意，$$\begin{gathered} a^2-4b=(-2{)}^2-4 \\ times(-3)=16 \end{gathered}$$． 故 $a^2-4b$ 的最大值为 16． （2）切线 $l$：$$\begin{gathered} y=f(1)+f^{ \\ prime}(1)(x-1) \end{gathered}$$，其中 $$\begin{gathered} f(1)= \\ dfrac13+ \\ dfraca2+b \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(1)=1+a+b \end{gathered}$$． 令 $$\begin{gathered} g(x)=f(x)-f(1)-f^{ \\ prime}(1)(x-1) \end{gathered}$$，记 $t=x-1$，展开： $$\begin{gathered} g= \\ dfrac(1+t{)}^3-13+ \\ dfraca2 \\ left[(1+t{)}^2-1 \\ right]+bt-(1+a+b)t=t^2 \\ left(1+ \\ dfraca2 \\ right)+ \\ dfrac{t}^{3}3 \end{gathered}$$． $l$ 在点 $A$ 处穿过曲线 $iffg$ 在 $x=1$（即 $t=0$）附近变号． 当 $$\begin{gathered} 1+ \\ dfraca2 \\ neq0 \end{gathered}$$ 时，$t$ 充分小时 $$\begin{gathered} t^2 \\ left(1+ \\ dfraca2 \\ right)+ \\ dfrac{t}^{3}3=t^2 \\ left[ \\ left(1+ \\ dfraca2 \\ right)+ \\ dfract3 \\ right] \end{gathered}$$ 恒与 $$\begin{gathered} 1+ \\ dfraca2 \end{gathered}$$ 同号，不变号； 当 $a=-2$ 时，$$\begin{gathered} g= \\ dfrac{t}^{3}3 \end{gathered}$$ 在 $t=0$ 两侧异号，恰穿过． 故 $a=-2$．由 $a^2-4b=8$ 得 $4-4b=8$，$b=-1$． 此时 $$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(x)=x^2-2x-1 \end{gathered}$$，两根 $$\begin{gathered} 1 \\ pm \\ sqrt2 \end{gathered}$$：$$\begin{gathered} 1- \\ sqrt2 \\ approx-0.41 \\ in[-1,1) \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} 1+ \\ sqrt2 \\ approx2.41 \\ in(1,3] \end{gathered}$$，符合题意． 故 $$\begin{gathered} f(x)= \\ dfrac13x^3-x^2-x \end{gathered}$$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与切线穿过

核心方法：$a^2-4b=(x_2-x_1{)}^2$，两根分布定界 $<4$，$x_1=-1,x_2=3$ 可取得 16；“穿过”$⟺f^{\prime \prime }(1)=2+a=0$

避坑指南：区间端点 $-1$ 闭、$3$ 闭使最大值可取；“切线穿过曲线”用 $g=f-l$ 的三阶展开看变号，$g^{\prime \prime }(1)=0$ 才穿

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值点分布与切线穿过曲线，导数压轴题（湖南特色）

结论推广：切线穿过 $⟺$ 曲线与切线的差函数在切点变号 $⟺$ 二阶导为零、三阶非零

方法推广：“极值点分布”转两根区间；“穿过”类问题用 $g=f-l$ 泰勒展开看前几个非零系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练(Links)

• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线
• 2008-湖南卷文-21 解-四次函数三极值点
• 2009-湖南卷文-07 单-导数图象凹凸
• 2015-湖南卷理-20 解-椭圆性质