2015-福建卷文-05 单-基本不等式

本题导读

考查基本不等式。截距式方程给出约束 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，用”1 的代换”把 $a+b$ 展开后套均值不等式。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（$a>0,b>0$）过点 $(1,1)$，则 $a+b$ 的最小值等于 ()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 点在直线上 $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$。
2. $a+b=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$，展开后出现 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$，套基本不等式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由点 $(1,1)$ 在直线上得 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$.

$a+b=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=4.$

当且仅当 $a=b=2$ 时取等号，故 $a+b$ 的最小值为 $4$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式；“1”的代换。

2. 核心方法：乘”1”展开，制造互倒结构 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$。

3. 避坑指南：取等条件 $a=b$ 必须回代验证：$a=b=2$ 确实满足 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，等号能取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“1 的代换 + 基本不等式”是求条件最值的高频模型，全国各卷反复考查。

2. 结论推广: 若过点 $(2,1)$，则 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，同样代换得 $a+b=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}⩾3+2\sqrt{2}$。

3. 方法推广: 见到”已知 $\frac{m}{x}+\frac{n}{y}=k$，求 $ax+by$ 型最值”，条件乘目标再拆项，是标准套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷理-9