2015-福建卷文-06 单-同角三角函数

本题导读

考查同角三角函数关系。由平方关系求 $\cos \alpha$，符号由”第四象限”定正负，再作商得正切。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 若 $\sin \alpha =-\frac{5}{13}$，且 $\alpha$ 为第四象限角，则 $\tan \alpha$ 的值等于 ()

A. $\frac{12}{5}$　　　　　　B. $-\frac{12}{5}$　　　　　　C. $\frac{5}{12}$　　　　　　D. $-\frac{5}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平方关系：${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{144}{169}$。
2. 第四象限角余弦为正、正切为负。
3. $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得 ${\cos }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$.

因为 $\alpha$ 是第四象限角，$\cos \alpha >0$，所以 $\cos \alpha =\frac{12}{13}$.

故 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-5/13}{12/13}=-\frac{5}{12}$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数的基本关系式；三角函数值在各象限的符号。

2. 核心方法：“平方关系定绝对值，象限定符号，商数关系收尾”。

3. 避坑指南：第四象限：$\cos$ 正、$\sin$ 负、$\tan$ 负。若忘开方取正，会误选 B（$-\frac{12}{5}$ 是 $\cot$ 的相反数混淆）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：同角关系是三角恒等变换的第一组公式，高考常以”给值求值”形式单独设题。

2. 结论推广: 若已知 $\tan \alpha$ 反求 $\sin \alpha$，则应设 $\sin \alpha =k\tan \alpha \cos \alpha$ 归结到平方关系，或用”1 的代换” ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 齐次化。

3. 方法推广: “知一求二”：任意给出一个三角函数值与象限，其余两个由平方关系 + 商数关系确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷理-03