2015-福建卷文-15 填-函数图象对称性

本题导读

两步走：对称条件 $f(1+x)=f(1-x)$ 定出 $a=1$，再由复合函数单调性确定递增区间的起点，即 $m$ 的最小值。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 若函数 $f(x)=2^{|x-a|}$（$a\in \mathbf{R}$）满足 $f(1+x)=f(1-x)$，且 $f(x)$ 在 $[m,+\infty )$ 上单调递增，则实数 $m$ 的最小值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(1+x)=f(1-x)\Rightarrow$ 图象关于 $x=1$ 对称 $\Rightarrow a=1$。
2. $f(x)=2^{|x-1|}$：内层 $|x-1|$ 在 $x⩾1$ 递增，外层 $2^t$ 递增 $\Rightarrow$ $f$ 在 $[1,+\infty )$ 递增。
3. $[m,+\infty )$ 递增 $\Rightarrow m⩾1$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(1+x)=f(1-x)$ 知 $f$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，而 $y=2^{|x-a|}$ 的图象关于 $x=a$ 对称，故 $a=1$，$f(x)=2^{|x-1|}$.

设 $t=|x-1|$，则 $t$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，外层 $y=2^t$ 单调递增，由”同增异减”知 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增.

故 $f$ 在 $[m,+\infty )$ 上单调递增当且仅当 $m⩾1$，即 $m$ 的最小值为 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的对称性；复合函数单调性；指数函数与绝对值函数。

2. 核心方法：“对称条件定参数 → 内外层同增异减定区间”。

3. 避坑指南：$m$ 的最小值是 $1$ 而不是任意小：区间 $[m,+\infty )$ 若跨过对称轴 $x=1$（$m<1$），函数先减后增，不再单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“抽象对称条件定参数”是函数性质的常规组合考法，福建卷 2015 理科同类位置考了函数图象与性质。

2. 结论推广: 若把底数改为 $0<a^{\prime }<1$（如 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{|x-1|}$），递增区间变为 $(-\infty ,1]$，$m$ 的约束随之反转。

3. 方法推广: “同增异减”判断复合函数单调性时，先写内层增减与外层增减两行，再按口诀合成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013年福建卷理-8