2015-福建卷文-20 解-立体几何综合

本题导读

三问梯度清晰：（1）等腰三角形三线合一 + 线面垂直性质得两线垂直；（2）体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot PO$，$PO$ 定值，只须让 $△ABC$ 面积最大；（3）侧面展开把 $CE+OE$ 拉直，余弦定理收口。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A,B$ 的点，$PO$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面，且 $PO=OB=1$.

(1) 若 $D$ 为线段 $AC$ 的中点，求证：$AC\perp$ 平面 $PDO$；

(2) 求三棱锥 $P-ABC$ 体积的最大值；

(3) 若 $BC=\sqrt{2}$，点 $E$ 在线段 $PB$ 上，求 $CE+OE$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. （1）$OA=OC\Rightarrow OD\perp AC$（三线合一）；$PO\perp$ 底面 $\Rightarrow PO\perp AC$；两线交于 $O$ 即得线面垂直。
2. （2）$V=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot PO$，$PO=1$ 定值；$AB=2$ 定长，$C$ 到 $AB$ 距离最大为半径 $1$。
3. （3）$BC=\sqrt{2}\Rightarrow △PBC$ 等边、$\angle OBC=45^{\circ }$；绕 $PB$ 展开，$\angle C^{\prime }BO=105^{\circ }$，余弦定理求 $C^{\prime }O$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C$ 在圆上，所以 $AC\perp BC$（直径所对的圆周角是直角）.

在 $△AOC$ 中，$OA=OC$（均为半径），$D$ 为 $AC$ 中点，由等腰三角形”三线合一”得 $OD\perp AC$.

又 $PO\perp$ 圆 $O$ 所在的平面，$AC\subset$ 该平面，所以 $PO\perp AC$.

而 $OD\cap PO=O$，$OD,PO\subset$ 平面 $PDO$，所以 $AC\perp$ 平面 $PDO$.

（2） $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot PO$，其中 $PO=1$.

$△ABC$ 为直角三角形（$\angle ACB=90^{\circ }$），斜边 $AB=2$，点 $C$ 到 $AB$ 的距离 $h_C$ 不超过半径 $1$，且当 $C$ 为弧 $AB$ 中点时取到 $h_C=1$. 故

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h_C⩽\frac{1}{2}\times 2\times 1=1,$

所以 $V⩽\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$，即三棱锥 $P-ABC$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$.

（3） $PO\perp$ 底面，$OB=OC=1$，$PO=1$，故 $PB=\sqrt{P{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{P{O}^2+O{C}^2}=\sqrt{2}$；又 $BC=\sqrt{2}$，所以 $△PBC$ 为等边三角形，$\angle PBC=60^{\circ }$.

在 $△OBC$ 中，$OB=OC=1$，$BC=\sqrt{2}$，由余弦定理得 $\cos \angle OBC=\frac{1+2-1}{2\times 1\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\angle OBC=45^{\circ }$.

将侧面 $PBC$ 绕 $PB$ 旋转至平面 $PAB$，使 $C$ 的新位置 $C^{\prime }$ 与 $O$ 分居直线 $PB$ 两侧，则 $CE+OE=C^{\prime }E+OE⩾C^{\prime }O$，当 $C^{\prime },E,O$ 共线时取等号.

此时 $\angle C^{\prime }BO=\angle C^{\prime }BP+\angle PBO=60^{\circ }+45^{\circ }=105^{\circ }$，$C^{\prime }B=CB=\sqrt{2}$，$OB=1$，由余弦定理

$C^{\prime }{O}^2=(\sqrt{2}{)}^2+1^2-2\sqrt{2}\cos 105^{\circ }=3-2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=3-\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3},$

所以 $C^{\prime }O=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$（由 ${\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{8+4\sqrt{3}}{4}=2+\sqrt{3}$）.

故 $CE+OE$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与性质；三棱锥体积的最值；侧面展开图求折线最短（余弦定理）。

2. 核心方法：“三线合一 + 线面垂直性质”凑判定定理；体积转化为底面积最值；最短距离用”展开化折为直”。

3. 避坑指南：① （1）必须写全”两条相交直线”及交点归属，判定定理三要素缺一不可；② （3）展开后 $C^{\prime }$ 与 $O$ 必须分居 $PB$ 两侧，展开角是 $60^{\circ }+45^{\circ }$ 而不是 $60^{\circ }-45^{\circ }$；$\sqrt{2+\sqrt{3}}$ 要化成 $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ 才与标准答案一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“圆锥 + 内接几何体 + 体积最值 + 展开图最短路径”是立体几何解答题的高配版，综合了旋转体与多面体。

2. 结论推广: 若把 $PO=OB=1$ 改为 $PO=1,OB=2$，则 $△PBC$ 不再等边，展开角与余弦定理的计算同步变化，方法不变。

3. 方法推广: 空间折线 $CE+OE$ 型最短的通法：找一条公共棱把两个面展平，化”折线和”为”直线段”，再用余弦定理求长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-17 解-面面垂直