2015-福建卷文-21 解-三角函数综合

本题导读

先降幂合并把 $f(x)$ 化成 $10\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+5$；（2）按”左加右减、上加下减”平移后由最大值定 $a$；（ii）把 $g(x_0)>0$ 转化为 $\sin x_0>\frac{4}{5}$，用每个周期内解区间长度大于 1 证无穷多正整数解。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=10\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+10{\cos }^2\frac{x}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，再向下平移 $a$（$a>0$）个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象，且函数 $g(x)$ 的最大值为 $2$.

（ⅰ）求函数 $g(x)$ 的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 $x_0$，使得 $g(x_0)>0$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二倍角：$\sin x\cos x$ 与 ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$ 降幂，再辅助角合并。
2. （ⅰ）右移 $\frac{\pi }{6}$ 消去相位；下移 $a$ 后最大值 $10+5-a=2$。
3. （ⅱ）$\sin x_0>\frac{4}{5}$ 在每个周期内的解区间长为 $\pi -2\arcsin \frac{4}{5}>1$，故每周期内至少含一个正整数。

✅【答案】

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(1) $2\pi$

(2) （ⅰ）$g(x)=10\sin x-8$；（ⅱ）证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）

$f(x)=10\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+10{\cos }^2\frac{x}{2}=5\sqrt{3}\sin x+5(1+\cos x)=5\sqrt{3}\sin x+5\cos x+5.$

由辅助角公式

$f(x)=10\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+5,$

所以最小正周期 $T=2\pi$.

（2）（ⅰ） 将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位得 $y=10\sin x+5$；再向下平移 $a$ 个单位得 $g(x)=10\sin x+5-a$.

由 $g$ 的最大值为 $2$ 得 $10+5-a=2$，解得 $a=13$. 所以 $g(x)=10\sin x-8$.

（ⅱ） $g(x_0)>0⟺10\sin x_0-8>0⟺\sin x_0>\frac{4}{5}$.

由 $\sin 1\approx 0.841>\frac{4}{5}$ 且 $\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增，得 $\alpha =\arcsin \frac{4}{5}<1$，于是每个周期内的解区间

$I_k=\left(2k\pi +\alpha ,2k\pi +\pi -\alpha \right)(k\in \mathbf{Z})$

的长度为 $\pi -2\alpha >\pi -2>1$.

任何长度大于 $1$ 的区间必含有整数，故每个 $I_k$（$k=0,1,2,\cdots$）内都存在正整数 $x_0$ 使 $\sin x_0>\frac{4}{5}$；不同区间中的正整数互不相同，而 $k$ 可无限增多.

所以存在无穷多个互不相同的正整数 $x_0$，使得 $g(x_0)>0$，证毕.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角与降幂公式、辅助角公式；图象平移变换；正弦函数的周期性与不等式解集。

2. 核心方法：“降幂 → 辅助角”化归为标准型；平移按法则逐步进行；存在性证明抓住”每周期解区间长 > 1”。

3. 避坑指南：① 降幂公式 ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$ 别漏常数项 $5$；② 右平移是”整体把 $x$ 换成 $x-\frac{\pi }{6}$“，本题恰好消去相位要看清；③ 严格证”无穷多”必须说明每个周期内都有、且区间长超过 1 才保证含整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角解答题”化简 + 平移 + 性质证明”三段式是福建卷的固定风格，(ii) 的存在性证法在 2011 年福建理科 21 题等题中亦有影子。

2. 结论推广: 若 $g(x)=10\sin x-c$，$g(x_0)>0⟺\sin x_0>\frac{c}{10}$；只要 $\frac{c}{10}<1$，解区间长度 $\pi -2\arcsin \frac{c}{10}$ 随 $c$ 减小而增大，结论对更小的 $c$ 同样成立。

3. 方法推广: 三角存在性问题的通用武器：把条件化为 $\sin (\cdot )>k$，算出解区间长度与整数间距比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-16 解-二倍角的正弦、余弦、正切公式