2014-福建卷理-16 解-二倍角的正弦、余弦、正切公式

本题导读

本题是三角函数的基础解答题。第一问通过已知正弦值求余弦值，代入求值；第二问是经典的“化一”过程，利用二倍角公式和辅助角公式将原函数化为 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的形式，再求周期和单调区间。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\cos x(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}$.

(1) 若 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，且 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $f(\alpha )$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：已知角 $\alpha$ 的象限和正弦值，利用同角三角函数平方关系式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求出 $\cos \alpha$，然后直接代入 $f(x)$ 的解析式进行计算即可。
2. 第二问分析：
   • 展开：将 $f(x)$ 的括号展开，得到 $\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-\frac{1}{2}$。
   • 降幂与倍角：观察到 $\sin x\cos x$ 联想到 $\frac{1}{2}\sin 2x$；观察到 ${\cos }^{2}x-\frac{1}{2}$ 联想到 $\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}x-1)=\frac{1}{2}\cos 2x$。
   • 辅助角公式：将化简后的式子 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x$ 提取 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为 $A\sin (2x+\varphi )$ 的形式。
   • 求性质：根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求周期。利用整体思想，令 $2k\pi -\frac{\pi }{2}\le 2x+\varphi \le 2k\pi +\frac{\pi }{2}$ 解出 $x$ 的范围，即为单调递增区间。

✅【答案】

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所以，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{\pi }{8}\right],k\in \mathbb{Z}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $f(\alpha )$ 的值 因为 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，且 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$， 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 且 $\alpha$ 在第一象限，得： $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 （或者直接得出 $\alpha =\frac{\pi }{4}$，则 $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$） 将 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 代入函数表达式： $f(\alpha )=\cos \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha )-\frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}-\frac{1}{2}$ $=1-\frac{1}{2}$ $=\frac{1}{2}$。

(2) 求最小正周期及单调递增区间 先化简 $f(x)$： $f(x)=\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-\frac{1}{2}$ 由二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 和 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，可得： $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}$ $=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x$ 提取公因式 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用辅助角公式化简： $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2x\cos \frac{\pi }{4}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{4})$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。

① 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

② 求单调递增区间： 令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 解得： $-\frac{3\pi }{4}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ $-\frac{3\pi }{8}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 所以，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{\pi }{8}\right],k\in \mathbb{Z}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式、辅助角公式与三角函数的周期单调性

2. 核心方法：展开后用倍角公式降幂，辅助角公式化为 $A\sin (2x+\varphi )$ 求周期与单调区间

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二倍角与辅助角公式的“化一”

2. 结论推广: $a\sin x+b\cos x$ 可化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$。

3. 方法推广: 可迁移到三角函数化简求周期、单调区间、最值类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式
• 2013-四川卷理-13 填-二倍角公式
• 2013-江西卷理-11 填-倍角公式