2015-福建卷理-10 单-导数单调性

本题导读

本题是 2015 年福建理科卷选择题的压轴题。考查利用导数构造辅助函数来研究原函数不等式的性质。解题的关键在于根据导数不等式 $f^{\prime }(x)>k$ 联想到构造函数 $g(x)=f(x)-kx$，通过其单调性推导出特定点的取值范围。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=-1$，其导函数 $f^{\prime }(x)$ 满足 $f^{\prime }(x)>k>1$，则下列结论中一定错误的是 ()

A. $f\left(\frac{1}{k}\right)<\frac{1}{k}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $f\left(\frac{1}{k}\right)>\frac{1}{k-1}$

C. $f\left(\frac{1}{k-1}\right)<\frac{1}{k-1}$　　　　　　　　　　　　　D. $f\left(\frac{1}{k-1}\right)>\frac{k}{k-1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件：由 $f^{\prime }(x)>k$ 可知，原函数 $f(x)$ 的增长速度快于一次函数 $y=kx$。
2. 构造辅助函数：为了利用 $f^{\prime }(x)>k$，构造函数 $g(x)=f(x)-kx$。
3. 判定单调性：求导得 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-k$。由于 $f^{\prime }(x)>k$，则 $g^{\prime }(x)>0$，说明 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
4. 利用已知点比较：已知 $f(0)=-1$，则 $g(0)=f(0)-k\cdot 0=-1$。由于 $k>1$，考察正半轴上的点 $\frac{1}{k}$ 和 $\frac{1}{k-1}$，利用 $g(x)>g(0)$ 建立不等式进行排除。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造并研究函数 $g(x)$ 令 $g(x)=f(x)-kx$。 则 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-k$。 由已知 $f^{\prime }(x)>k$，得 $g^{\prime }(x)>0$，所以 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 因为 $k>1$，所以 $\frac{1}{k-1}>0$。 根据单调性：$g\left(\frac{1}{k-1}\right)>g(0)$ $f\left(\frac{1}{k-1}\right)-k\cdot \frac{1}{k-1}>-1$ $f\left(\frac{1}{k-1}\right)>\frac{k}{k-1}-1=\frac{k-(k-1)}{k-1}=\frac{1}{k-1}$。 由此可知，$f\left(\frac{1}{k-1}\right)>\frac{1}{k-1}$ 恒成立， 因此结论 C “$f\left(\frac{1}{k-1}\right)<\frac{1}{k-1}$” 一定错误。

第二步：分析其他选项

• 对于 A, B：构造 $h(x)=f(x)-x$，则 $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$。 由于 $f^{\prime }(x)>k>1$，故 $h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。 $h\left(\frac{1}{k}\right)>h(0)⟹f\left(\frac{1}{k}\right)-\frac{1}{k}>-1⟹f\left(\frac{1}{k}\right)>\frac{1}{k}-1$。 该范围既包含比 $\frac{1}{k}$ 小的值，也包含比 $\frac{1}{k-1}$ 大的值，故 A, B 无法确定一定错误。
• 对于 D：由第一步可知 $f\left(\frac{1}{k-1}\right)>\frac{1}{k-1}$，而 $\frac{k}{k-1}$ 仅是比 $\frac{1}{k-1}$ 更大的一个界限，不能判定 D 一定错误。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 构造函数的嗅觉：看到 $f^{\prime }(x)>k$ 或 $f^{\prime }(x)<k$ 时，第一时间构造 $f(x)-kx$；看到 $f^{\prime }(x)>f(x)$ 时，第一时间构造 $e^{-x}f(x)$。
2. “一定错误”的解题逻辑：这类题目只需找到一个与已知条件逻辑相悖的结论即可，通常利用单调性确定的取值范围是一个开区间。 3.* 本题考查导数与不等式的结合，体现了导数作为研究函数变化工具的核心地位。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以从几何意义理解。 $f(x)$ 的图象始终在直线 $y=kx-1$ 的上方（因为 $f(0)=-1$ 且增长率更快）。代入 $x=\frac{1}{k-1}$ 观察纵坐标位置。
• 变式思考: 若将条件改为 $f^{\prime }(x)<k<1$，结论会发生什么变化？ (提示：单调性反转，此时 $f(x)<kx-1$ 将成为判定的基础。)

🔗【关联脉络】

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C

类题演练(Links)

• 2013年福建卷理-10
• 2014-福建卷理-20 解-导数单调性与极值
• 2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题