2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题

本题导读

本题考查简单的线性规划问题。通过画出约束条件对应的可行域，理解目标函数的几何意义（直线在 y 轴上的截距），利用平移法或角点法求解目标函数的最小值。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1\le 0\\ x+2y-8\le 0\\ x\ge 0\end{array}$，则 $z=3x+y$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：将不等式组转化为相应的直线方程，确定并画出满足条件的平面区域（即可行域）。
2. 分析目标函数：将目标函数 $z=3x+y$ 变形为 $y=-3x+z$。这表示一条斜率为 $-3$，纵截距为 $z$ 的直线簇。要求 $z$ 的最小值，即要求该直线在可行域内移动时，纵截距的最小值。
3. 求解最值：利用“角点法”（将可行域顶点的坐标代入目标函数比较大小）或“平移法”（结合图形观察截距最小的点）得出结果。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域及其顶点（角点） 由约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1\le 0\\ x+2y-8\le 0\\ x\ge 0\end{array}$ 作出可行域，如图中阴影三角形区域所示。 联立边界直线方程，求出三角形的三个顶点坐标：

• 由 $\{\begin{array}{l}x=0\\ x-y+1=0\end{array}$，解得交点 $A(0,1)$。
• 由 $\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y-8=0\end{array}$，解得交点 $(0,4)$。
• 由 $\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x+2y-8=0\end{array}$，解得交点 $(2,3)$。

第二步：利用角点法求最值 将三个顶点的坐标分别代入目标函数 $z=3x+y$ 中：

• 当过点 $(0,1)$ 时，$z=3\times 0+1=1$。
• 当过点 $(0,4)$ 时，$z=3\times 0+4=4$。
• 当过点 $(2,3)$ 时，$z=3\times 2+3=9$。

第三步：得出结论 比较上述结果，当过点 $A(0,1)$ 时，目标函数取得最小值。 即 $z_{\min }=1$。 (注：原图解析图片中文字描述“截距最大”系笔误，由 $y=-3x+z$ 可知，求 $z$ 的最小值实为求截距的最小值。)

故答案为 1


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：简单线性规划求最值

2. 核心方法：画出可行域，用角点法比较各顶点处目标函数值求最小值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划可行域与目标函数截距

2. 结论推广: 线性目标函数最值必在可行域顶点取得。

3. 方法推广: 可迁移到含约束条件的线性规划最值与参数范围类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-13 填-简单的线性规划问题
• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划