2015-福建卷理-12 填-三角形面积

本题导读

本题考查解三角形的基本功。通过已知面积和两边求出夹角的正弦值，再结合“锐角三角形”这一限制条件确定角度，最后利用余弦定理求出第三边长。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若锐角 $△ABC$ 的面积为 $10\sqrt{3}$，且 $AB=5,AC=8$，则 $BC$ 等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用面积求角：由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 求出 $\sin A$。
2. 限定角度范围：根据“锐角 $△ABC$”这一条件，确定角 $A$ 的具体值。
3. 应用余弦定理：在已知两边及夹角的情况下，利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 计算对边 $BC$ 的长度。

✅【答案】

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7

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求角 $A$ 的正弦值 由题意，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=10\sqrt{3}$。 代入数据：$\frac{1}{2}\times 5\times 8\times \sin A=10\sqrt{3}$ $20\sin A=10\sqrt{3}$ $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

第二步：确定角 $A$ 因为 $△ABC$ 是锐角三角形，所以 $A\in (0,\frac{\pi }{2})$。 由 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $A=60^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{3}$）。

第三步：计算 $BC$ 长度 根据余弦定理： $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$ $B{C}^2=5^2+8^2-2\times 5\times 8\times \cos 60^{\circ }$ $B{C}^2=25+64-80\times \frac{1}{2}$ $B{C}^2=89-40=49$。 所以 $BC=7$。

故答案为：7。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 与余弦定理是解三角形问题的“黄金搭档”。
2. 易错细节：题目中的“锐角三角形”是关键。如果没说锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应的 $A$ 可能是 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$，会导致 $BC$ 有两个可能值。
3. 计算检查：得到 $BC=7$ 后，可以快速验证是否满足 $7^2<5^2+8^2$（即 $49<89$），符合锐角三角形中最大角对边平方小于另两边平方和的性质（此处 $AC=8$ 为最大边，需验证 $8^2<5^2+7^2⟹64<74$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以作高线，利用直角三角形勾股定理求解，但在已知角度的情况下余弦定理更直接。
• 变式思考: 若将“锐角三角形”改为“面积最大的 $△ABC$”，且 $AB,AC$ 固定，则角 $A$ 应为多少度？ (提示：由 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 知，当 $\sin A=1$ 即 $A=90^{\circ }$ 时面积最大。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用
• 2011-福建卷理-12
• 2004-福建理-12 单-双曲线的定义与标准方程