2015-福建卷理-18 解-椭圆离心率

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问通过椭圆的基本性质求标准方程；第二问考查直线与椭圆相交形成的弦为直径的圆与点的位置关系。解题关键是将几何位置关系转化为向量数量积的符号判定，考查代数运算与逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)）

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $(0,\sqrt{2})$，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程；

(2) 设直线 $x=my-1(m\in \mathbb{R})$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点，判断点 $G(-\frac{9}{4},0)$ 与以线段 $AB$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（待定系数法）：

• 由椭圆过点 $(0,\sqrt{2})$ 可知 $b=\sqrt{2}$。

• 利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $a^2=b^2+c^2$ 建立方程组，求出 $a$。

2. 第二问（位置关系判定）：

• 核心判据：点 $G$ 与以 $AB$ 为直径的圆的位置关系，等价于判定 $\angle AGB$ 是锐角、直角还是钝角。

 - 若 $\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB} > 0$，则 $\angle AGB$ 为锐角，点 $G$ 在圆外；

 - 若 $\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB} = 0$，则 $\angle AGB$ 为直角，点 $G$ 在圆上；

 - 若 $\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB} < 0$，则 $\angle AGB$ 为钝角，点 $G$ 在圆内。

• 联立方程：将直线 $x=my-1$ 代入椭圆方程，得到关于 $y$ 的一元二次方程。

• 韦达定理：求出 $y_1+y_2$ 和 $y_1{y}_2$，进而表达出 $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}$。

• 符号判定：通过代数化简确定数量积的取值范围。

✅【答案】

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因为 $m^2\ge 0$，所以 $17m^2+2>0$ 且 $16(m^2+2)>0$。 故 $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}>0$ 恒成立。 这意味着 $\angle AGB$ 始终为锐角。 结论：点 $G$ 在以 $AB$ 为直径的圆外

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程

因为椭圆 $E$ 过点 $(0,\sqrt{2})$，所以 $b=\sqrt{2}$。

由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $c^2=\frac{1}{2}{a}^2$。

又 $a^2=b^2+c^2$，则 $a^2=2+\frac{1}{2}{a}^2$，解得 $a^2=4$。

所以椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。

（Ⅱ）判断点 $G$ 与圆的位置关系

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。

联立 $\{\begin{array}{l}x=my-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}$，消去 $x$ 得：

$(my-1{)}^2+2y^2=4⟹(m^2+2)y^2-2my-3=0$。

由韦达定理得：$y_1+y_2=\frac{2m}{m^2+2}$，$y_1{y}_2=\frac{-3}{m^2+2}$。

计算数量积 $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}$：

因为 $G(-\frac{9}{4},0)$，所以 $\overrightarrow{GA}=(x_1+\frac{9}{4},y_1)$，$\overrightarrow{GB}=(x_2+\frac{9}{4},y_2)$。

$\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=(x_1+\frac{9}{4})(x_2+\frac{9}{4})+y_1{y}_2$

$=(m{y}_1-1+\frac{9}{4})(m{y}_2-1+\frac{9}{4})+y_1{y}_2$

$=(m{y}_1+\frac{5}{4})(m{y}_2+\frac{5}{4})+y_1{y}_2$

$=(m^2+1)y_1{y}_2+\frac{5}{4}m(y_1+y_2)+\frac{25}{16}$

代入韦达定理：

$=(m^2+1)\cdot \frac{-3}{m^2+2}+\frac{5}{4}m\cdot \frac{2m}{m^2+2}+\frac{25}{16}$

$=\frac{-3m^2-3+\frac{5}{2}{m}^2}{m^2+2}+\frac{25}{16}=\frac{-m^2-6}{2(m^2+2)}+\frac{25}{16}$

$=\frac{-8m^2-48+25m^2+50}{16(m^2+2)}=\frac{17m^2+2}{16(m^2+2)}$。

因为 $m^2\ge 0$，所以 $17m^2+2>0$ 且 $16(m^2+2)>0$。

故 $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}>0$ 恒成立。

这意味着 $\angle AGB$ 始终为锐角。

结论：点 $G$ 在以 $AB$ 为直径的圆外。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 向量工具的优越性：在判定点圆位置关系或角的大小关系时，利用数量积 $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}$ 比计算圆心到点的距离更简洁，有效避开了开方运算。

2. 计算量的管控：解析几何大题往往计算量大，联立方程后先不急于求 $x_1{x}_2$，利用直线方程 $x=my-1$ 统一化为 $y$ 的表达式通常更省力。

3. 几何直观：在长轴上且偏离中心较远的点（如本题中的 $G$），通常更可能位于弦直径圆的外部。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果计算圆心 $H$ 到 $G$ 的距离 $d$ 与半径 $r$，需利用中点坐标公式及弦长公式，计算量会显著增加，但逻辑同样严密。

• 变式思考: 若直线方程改为 $x=my+1$，$G$ 点位置不变，结论是否会反转？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2005-福建卷理-21 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-福建卷理-22 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2014-福建卷理-19 解-离心率