2015-福建卷文-11 单-椭圆离心率

本题导读

双条件定离心率范围：$|AF|+|BF|=4$ 借对称性直接给出 $2a=4$；距离条件给出 $b⩾1$，两层结合收口。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，短轴的一个端点为 $M$，直线 $l:3x-4y=0$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点. 若 $|AF|+|BF|=4$，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $\frac{4}{5}$，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是 ()

A. $\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$　　　　B. $\left(0,\frac{3}{4}\right]$　　　　C. $\left[\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$　　　　D. $\left[\frac{3}{4},1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线 $l$ 过原点 $\Rightarrow A,B$ 关于原点对称 $\Rightarrow x_A+x_B=0$。
2. 焦半径公式：$|AF|+|BF|=2a-e(x_A+x_B)=2a=4$。
3. $M(0,b)$ 到 $l$ 的距离 $\frac{4b}{5}⩾\frac{4}{5}\Rightarrow b⩾1$；又 $b<a=2$，由 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 收口。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l:3x-4y=0$ 过原点，而椭圆关于原点对称，故 $A,B$ 关于原点对称，$x_A+x_B=0$.

由焦半径公式（右焦点）$|AF|=a-e{x}_A$，$|BF|=a-e{x}_B$，所以

$|AF|+|BF|=2a-e(x_A+x_B)=2a=4⟹a=2.$

短轴端点 $M(0,b)$ 到直线 $3x-4y=0$ 的距离

$d=\frac{|3\times 0-4b|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{4b}{5}⩾\frac{4}{5}⟹b⩾1.$

又 $b<a=2$，故 $1⩽b<2$，即 $\frac{1}{4}⩽\frac{b^2}{a^2}<1$，于是

$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\in \left(0,\sqrt{\frac{3}{4}}\right]=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right],$

选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的定义与焦半径公式；离心率；点到直线的距离公式。

2. 核心方法：“利用对称性化简 $|AF|+|BF|$“与”距离不等式压 $b$ 的范围”两条线合并到 $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$。

3. 避坑指南：① 不要把 $|AF|+|BF|=4$ 误当成”过焦点的弦长 $=4$“而用韦达定理绕远路；② $b$ 的上界是 $a=2$（开区间），否则会错把端点 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 丢掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“圆锥曲线 + 距离（或长度）不等式求离心率范围”是全国卷与各省卷的共同热点，本质是齐次不等式压参。

2. 结论推广: 若距离条件改为”不小于 $\frac{6}{5}$“，则 $b⩾\frac{3}{2}$，$e\in \left(0,\frac{\sqrt{7}}{4}\right]$，方法完全不变。

3. 方法推广: 离心率范围题的通法：用两个独立条件分别表示出 $a$ 与 $b$（或 $a,c$）的范围，代入 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 收口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷理-18 解-椭圆离心率