2015-重庆卷文-12 填-圆的方程

本题导读

本题考查过圆上一点的切线方程求法，利用圆心与切点的连线垂直于切线求解。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 若点 $P(1,2)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 $P$ 处的切线方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $O(0,0)$ 与切点 $P(1,2)$ 连线 $OP$ 的斜率为 $k_{OP}=\frac{2-0}{1-0}=2$。
2. 根据切线与半径垂直，切线斜率 $k=-\frac{1}{k_{OP}}=-\frac{1}{2}$。
3. 利用点斜式写出切线方程并化简。

✅【答案】

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故答案为：$x+2y-5=0$（或 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知圆心为 $O(0,0)$，切点为 $P(1,2)$。 直线 $OP$ 的斜率为 $k_{OP}=\frac{2}{1}=2$。 因为切线与半径 $OP$ 垂直，所以切线的斜率 $k=-\frac{1}{2}$。 由点斜式可得切线方程为： $y-2=-\frac{1}{2}(x-1)⟹x+2y-5=0$

故答案为：$x+2y-5=0$（或 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的几何性质（半径垂直于切线）及直线方程。
2. 核心方法：垂直关系 $k_1{k}_2=-1$。
3. 避坑指南：过圆上一点 $(x_0,y_0)$ 的切线方程可直接使用公式 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$，代入得 $1\cdot x+2\cdot y=1^2+2^2=5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自解析几何中圆的切线性质基础练习。
2. 结论推广：对于圆 $x^2+y^2=R^2$ 上一点 $P(x_0,y_0)$，过该点的切线方程恒为 $x_{0}x+y_{0}y=R^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

$x+2y-5=0$

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013年重庆卷理-21
• 2012-重庆卷理-20