2015-重庆卷文-17 解-线性回归方程

本题导读

本题考查线性回归方程的求解与预测应用，核心在于准确计算均值 $\bar{t},\bar{y}$ 及代入最小二乘法公式。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

| 年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | | 时间代号 $t$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 储蓄存款 $y$（千亿元） | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |

(1) 求 $y$ 关于 $t$ 的回归方程 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$；

(2) 用所求回归方程预测该地区 2015 年 ($t=6$) 的人民币储蓄存款.

附：回归方程 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$ 中，$\hat{b}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{t}_i{y}_i-n\bar{t}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^n{t}_i^2-n{\bar{t}}^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据表中数据计算 $\bar{t},\bar{y},{\sum }_{i=1}^5{t}_i{y}_i,{\sum }_{i=1}^5{t}_i^2$，代入回归系数公式求出 $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$，写出回归方程。
2. 第二问：将 $t=6$ 代入 (1) 中求得的回归方程，计算预测值 $\hat{y}$。

✅【答案】

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所以预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款约为 $10.8$ 千亿元

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由已知数据得 $n=5$， $\bar{t}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$ $\bar{y}=\frac{5+6+7+8+10}{5}=\frac{36}{5}=7.2$

计算相关累加和： ${\sum }_{i=1}^5{t}_i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55$ ${\sum }_{i=1}^5{t}_i{y}_i=1\times 5+2\times 6+3\times 7+4\times 8+5\times 10=5+12+21+32+50=120$

代入回归系数公式计算 $\hat{b}$： $\hat{b}=\frac{120-5\times 3\times 7.2}{55-5\times 3^2}=\frac{120-108}{55-45}=\frac{12}{10}=1.2$

计算 $\hat{a}$： $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}=7.2-1.2\times 3=7.2-3.6=3.6$

所以 $y$ 关于 $t$ 的回归方程为： $\hat{y}=1.2t+3.6$

(2) 将 $t=6$ 代入回归方程 $\hat{y}=1.2t+3.6$ 得： $\hat{y}=1.2\times 6+3.6=7.2+3.6=10.8$

所以预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款约为 $10.8$ 千亿元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：最小二乘法求线性回归方程及代入预测。
2. 核心方法：表格数据求和法，严格按公式计算 $\bar{t},\bar{y},\sum t_i^2,\sum t_i{y}_i$。
3. 避坑指南：计算累加和 $\sum t_i{y}_i$ 时需避免乘法运算错误；注意最终预测结果须带上单位“千亿元”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自必修三统计章节线性回归分析的标准应用题，考查数据处理与运算能力。
2. 结论推广：线性回归直线必然经过样本中心点 $(\bar{t},\bar{y})$，可用于检验计算出的 $\hat{a}$ 与 $\hat{b}$ 是否正确。

🔗【关联脉络】

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• 待补

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-03 单-线性回归方程
• 2014-新课标II卷理-19 解-最小二乘法
• 2025-上海卷-17 解-统计综合