2014-新课标II卷理-19 解-最小二乘法

本题导读

本题考查统计中的线性回归模型。第一问要求根据给出的数据表，利用最小二乘法公式计算回归系数并建立回归方程；第二问要求根据回归方程的斜率分析变化趋势，并对未来数据进行估算预测。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 $y$（单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号 $t$	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入 $y$	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

(1) 求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程；

(2) 利用 (1) 中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(t_i-\bar{t}{)}^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求解回归方程
   • 求均值：分别计算年份代号 $t$ 和纯收入 $y$ 的平均值 $\bar{t}$ 和 $\bar{y}$。
   • 计算回归系数 $\hat{b}$：根据公式计算分子（离差积的和）和分母（平方差的和）。
   • 计算截距 $\hat{a}$：利用回归直线过样本中心点 $(\bar{t},\bar{y})$ 的性质求得。
   • 写出方程：格式为 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$。
2. 第二问：分析与预测
   • 趋势分析：观察 $\hat{b}$ 的符号。若 $\hat{b}>0$，则收入呈增长趋势，且 $\hat{b}$ 的数值代表年平均增长量。
   • 数据预测：确定 2015 年对应的年份代号 $t$。由表可知 2013 年 $t=7$，则 2015 年 $t=9$。代入方程计算即可。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求线性回归方程；$\hat{y}=0.5t+2.3$；第 (2) 小题：变化情况分析与预测；逐年增加

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求线性回归方程 由表中数据得： $\bar{t}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4$； $\bar{y}=\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}=\frac{30.1}{7}=4.3$。

计算分子 ${\sum }_{i=1}^7(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})$： $=(-3)\times (-1.4)+(-2)\times (-1)+(-1)\times (-0.7)+0\times 0.1+1\times 0.5+2\times 0.9+3\times 1.6$ $=4.2+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8=14$。

计算分母 ${\sum }_{i=1}^7(t_i-\bar{t}{)}^2$： $=(-3{)}^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+2^2+3^2$ $=9+4+1+0+1+4+9=28$。

则 $\hat{b}=\frac{14}{28}=0.5$。 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}=4.3-0.5\times 4=4.3-2=2.3$。 所以，$y$ 关于 $t$ 的线性回归方程为：$\hat{y}=0.5t+2.3$。

第 (2) 小题：变化情况分析与预测 由 (1) 知 $\hat{b}=0.5>0$，说明 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 $0.5$ 千元。 2015 年对应的年份代号 $t=9$。 将 $t=9$ 代入回归方程得： $\hat{y}=0.5\times 9+2.3=4.5+2.3=6.8$。 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 $6.8$ 千元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$ 的求解与预测。

2. 核心方法：求样本中心、代公式算 $\hat{b},\hat{a}$，再据 $\hat{b}$ 符号分析趋势并代入预测。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 最小二乘法原理、回归直线必过样本中心点 $(\bar{t},\bar{y})$。

2. 结论推广: 相关系数 $r$ 的正负与 $\hat{b}$ 相同。若 $|r|$ 越接近 1，说明回归方程的拟合效果越好。

3. 方法推广: 面对非线性模型（如指数模型 $y=c{e}^{kt}$），通常先通过对数变换将其线性化后再求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 24.01回归分析与线性拟合
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)