2015-重庆卷理-02 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的基础运算。通过已知数列的两项，求指定项的值。既可以通过基本量法（求首项和公差）求解，也可以直接利用等差数列的对称性质（等差中项）快速得出结果。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)）在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = 4$ ， $a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} =$ ()

A. -1　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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观察下标关系：发现下标 $2, 4, 6$ 成等差数列。

利用性质切入：在等差数列中，若下标成等差，则对应的项也成等差数列。即 $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{6}$ 的等差中项。

公式计算：根据等差中项公式 $2 a_{4} = a_{2} + a_{6}$ 直接解出 $a_{6}$ 。

验证（基本量法）：若不熟悉性质，可利用 $a_{4} - a_{2} = 2 d$ 求出公差 $d$ ，再求 $a_{6}$ 。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用等差数列性质（推荐） 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，因为下标 $4 - 2 = 6 - 4$ ，所以 $a_{2}, a_{4}, a_{6}$ 构成一个新的等差数列。由等差中项性质得： $a_{6} + a_{2} = 2 a_{4}$

第二步：代入已知数据 将 $a_{2} = 4$ ， $a_{4} = 2$ 代入上式： $a_{6} + 4 = 2 \times 2$ $a_{6} + 4 = 4$ 解得 $a_{6} = 0$ 。

解法二：基本量法 设等差数列的公差为 $d$ 。则 $a_{4} = a_{2} + (4 - 2) d$ ，即 $2 = 4 + 2 d$ 。解得 $d = - 1$ 。则 $a_{6} = a_{4} + (6 - 4) d = 2 + 2 \times (- 1) = 0$ 。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心性质：在等差数列中， $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 只要满足 $m + n = p + q$ 。本题中 $2 + 6 = 4 + 4$ ，故 $a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}$ 。

计算技巧：在选择题中，优先观察下标关系（等距离采样），可以极大简化运算量并降低出错率。

陷阱预防：注意公差 $d$ 的符号，数列项从 4 变为 2 是递减的，公差应为负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

方法拓展: 这种“等间隔取项”的方法同样适用于等比数列。若题目改为等比数列，则有 $a_{4}^{2} = a_{2} \cdot a_{6}$ 。

变式思考: 若已知 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 12$ ，则 $a_{3}$ 等于多少？ (提示：利用 $a_{1} + a_{5} = 2 a_{3}$ ，得 $3 a_{3} = 12, a_{3} = 4$ 。)

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