2014-重庆卷理-02 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的通项公式及其性质。解题关键在于理解等比数列子数列成等比数列的条件，即下标成等差数列。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 对任意等比数列 $\{a_n\}$，下列说法一定正确的是()

A. $a_1,a_3,a_9$ 成等比数列　　　　　　B. $a_2,a_3,a_6$ 成等比数列

C. $a_2,a_4,a_8$ 成等比数列　　　　　　D. $a_3,a_6,a_9$ 成等比数列

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等比数列性质回顾：若数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，公比为 $q$。对于其中的三项 $a_m,a_n,a_p$，若它们成等比数列，则需满足 $a_n^2=a_m\cdot a_p$。
2. 通项公式推导：代入通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，则有 $(a_1{q}^{n-1}{)}^2=(a_1{q}^{m-1})\cdot (a_1{q}^{p-1})$，化简得 $2n-2=m+p-2$，即 $2n=m+p$。
3. 转化结论：等比数列中，若下标 $m,n,p$ 成等差数列，则对应的项 $a_m,a_n,a_p$ 一定成等比数列。
4. 验证选项：检查四个选项中哪一组的下标成等差数列。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证 A 选项 下标为 $1,3,9$。因为 $1+9=10\ne 2\times 3$，下标不成等差数列。 验证：$a_1\cdot a_9=a_1^2{q}^8$，而 $a_3^2=(a_1{q}^2{)}^2=a_1^2{q}^4$。只有当 $q=1$ 或 $q=-1$ 时成立，对“任意”数列不一定正确。

第二步：验证 B 选项 下标为 $2,3,6$。因为 $2+6=8\ne 2\times 3$，下标不成等差数列。

第三步：验证 C 选项 下标为 $2,4,8$。因为 $2+8=10\ne 2\times 4$，下标不成等差数列。

第四步：验证 D 选项 下标为 $3,6,9$。因为 $3+9=12=2\times 6$，下标成等差数列。 验证： 左边：$a_3\cdot a_9=a_1{q}^2\cdot a_1{q}^8=a_1^2{q}^{10}$ 右边：$a_6^2=(a_1{q}^5{)}^2=a_1^2{q}^{10}$ 由于 $a_3\cdot a_9=a_6^2$ 恒成立，故 $a_3,a_6,a_9$ 一定成等比数列。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列子列成等比的条件。

2. 核心方法：由 $2n=m+p$ 验证下标成等差数列的选项。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 下标成等差数列则对应项成等比数列。

2. 结论推广: $a_3,a_6,a_9$ 成等比数列（$3+9=2\times 6$）。

3. 方法推广: 判三项成等比看下标是否成等差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质
• 2013-湖北卷理-18 解-等比数列的性质
• 2026-新高考I卷-14 填-等比数列